แทนแกรม (Tangram) หรือ ฉีเฉียวตู

แทนแกรมเป็นฉากต่อของจีนโบราณ เรียกว่า ฉีเฉียวตู ประกอบด้วยรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก 5 ชิ้น รูปสี่เหลี่ยมจตุรัส 1 ชิ้น และรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานอีก 1 ชิ้น รวมทั้งหมด 7 ชิ้น ดังรูป

ขอบคุณรูปภาพจาก https://www.pinterest.com/6fd285b3/tangram/

ชิ้นส่วนทั้ง 7 ชิ้นนี้ สามารถนำมาสร้างเป็นรูปต่าง ๆ ได้มากกว่า 1,600 แบบ

ตัวอย่างการนำแทนแกรมมาสร้างรูปต่าง ๆ ดูได้จาก https://www.pinterest.com/6fd285b3/tangram/

ข่ายงาน (Network)

ข่ายงานมีวิวัฒนาการมาตั้งแต่คริสต์ศตวรรษที่สิบแปด โดยเลออนฮาร์ด ออยเลอร์ (Leonhard Euler) นักคณิตศาสตร์ชาวสวิตเซอร์แลนด์

ข่ายงานเป็นแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ที่สร้างขึ้นเพื่อหารูปแบบในการแก้ปัญหาความรู้เกี่ยวกับงานข่ายจะช่วยวางแผนจัดเส้นทางการขนส่งเพื่อให้ประหยัดเงินและเวลามากที่สุด

ในปี ค.ศ.1736 เลออนฮารด์ ออยเลอร์ (LeonhardEuler) ซึ่งเป็นนักคณิตศาสตร์ชาวสวิส ได้แก้ปัญหาที่มีชื่อว่า ปัญหาสะพานเคอนิกส์เบิร์ก (Konig berg Bridge Problem) เป็นปัญหาที่กล่าวถึงสะพาน 7 สะพานในเมืองเคอนิกส์เบิรก์ สะพานเหล่านี้ใช้เกาะสองเกาะและแผ่นดิน ดังรูป

ขอบคุณรูปภาพจาก http://mathworld.wolfram.com/KoenigsbergBridgeProblem.html

ปัญหานี้มีคาถามว่า เป็นไปได้หรือไม่ว่า ถ้าเริ่มต้น ณ ที่แห่งหนึ่ง (บนแผ่นดิน)แล้วเดินข้ามสะพานทั้งเจ็ดสะพาน โดยผ่านสะพานแต่ละสะพานเพียงครั้งเดียวเท่านั้นแล้วกลับมายังจุดเริ่มต้นได้ ออยเลอร์ได้แปลงปัญหาดังกล่าวเป็นกราฟ โดยให้แผ่นดินแทนด้วยจุดยอดและสะพานแทนด้วยเส้นเชื่อมของกราฟ ดังรูป

ขอบคุณรูปภาพจาก http://mathworld.wolfram.com/KoenigsbergBridgeProblem.html

ข่ายงาน ประกอบด้วย จุดยอด ซึ่งมีการเชื่อมระหว่างจุดด้วยเส้นเชื่อม ในข่ายงานจะไม่คำนึงถึงระยะห่างระหว่างจุดยอด และเส้นเชื่อมจะเป็นเส้นแบใดก็ได้ เราจึงอาจเขียนง่าย ๆ ได้หลายแบบ

ข่ายงานที่สามารถลากเส้นเชื่อมทุกเส้นได้โดยตลอดอย่างต่อเนื่อง และไม่ซ้ำเดิม เรียกว่า ข่ายงานที่ผ่านได้

จุดยอดของข่ายงานมี 2 ชนิด คือ จุดยอดคี่ และจุดยอดคู่
- จุดยอดของข่ายงานเป็น จุดยอดคี่ เมื่อจำนวนเส้นเชื่อมที่มาพบกัน ณ จุดยอดนั้นเป็นจำนวนคี่
- จุดยอดของข่ายงานเป็น จุดยอดคู่ เมื่อจำนวนเส้นเชื่อมที่มาพบกัน ณ จุดยอดนั้นเป็นจำนวนคู่

หมายเหตุ
ในกรณีเส้นบ่วง ให้นับรูปบ่วงแต่ละรูปเป็นสองเส้นเชื่อม

จำนวนฟีโบนัชชี (Fibonacci number)

เลโอนาร์โด ฟีโบนัชชี (Leonardo Fibonacci) นักคณิตศาสตร์ชาวอิตาลี เป็นผู้นำระบบตัวเลขฮินดูอารบิกมาใช้อย่างแพร่หลายในยุโรป ด้วยการเขียนหนังสือเกี่ยวกับการคิดคำนวณชื่อ The Book of Abacus ในหนังสือเล่มนี้มีโจทย์ปัญหาข้อหนึ่งซึ่งมีชื่อเสียงมาก คือ ปัญหาจำนวนกระต่ายในทุ่งหญ้า ปัญหานี้ทำให้ได้รูปแบบของจำนวนชุดหนึ่งซึ่งเรียงเป็นลำดับ ดังนี้ 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ... ลำดับดังกล่าวรู้จักกันกว้างขวางต่อมาว่า ลำดับฟีโบนักชี

จำนวนฟีโบนัชชี หรือ เลขฟีโบนัชชี (Fibonacci number) คือลำดับของจำนวนเต็ม โดยมีนิยามของความสัมพันธ์ว่า จำนวนถัดไปเท่ากับผลบวกของจำนวนสองจำนวนก่อนหน้า และสองจำนวนแรกก็คือ 0 และ 1 ตามลำดับ และลำดับของจำนวนดังกล่าวก็จะเรียกว่า ลำดับฟีโบนัชชี

ตัวอย่างลำดับเลขฟีโบนัชชี
0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610 987 1597 2584 4181 6765 10946 17711 ...

ถ้าเรานำเลขฟีโบนัชชีมาเขียนเป็นอนุกรมจะได้ดังนี้
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, x, y, x+y, …
(ตัวเลขตำแหน่งที่ n เท่ากับตัวเลขตำแหน่งที่ n-1 บวกกับตัวเลขตำแหน่งที่ n-2 หรือ X_n = X_n-1 + X_n-2)

นอกจากนี้ยังมีจำนวนในลำดับฟีโบนักชีปรากฏอยู่ในธรรมชาติ เช่น
1. จำนวนแถวของตาสับปะรดเรียงตามเข็มนาฬิกา และทวนเข็มนาฬิการอบผลเป็น 8 และ 13 ตามลำดับ
2. จำนวนแถวของเกสรหรือเมล็ดทานตะวัน เรียงตามเข็มนาฬิกาและตามเข็มนาฬิกาเป็น 21 และ 34 ตามลำดับ

ทว่า สิ่งที่ทำให้เราต้องพิศวงยิ่งไปกว่านั้นคือ ลำดับฟีโบนักชีตั้งแต่ตัวเลขค่าที่สี่เป็นต้นไป มีอัตราส่วนจากการหารตัวเลขลำดับหลังด้วยตัวเลขลำดับหน้า เช่น 5 หารด้วย 3, 8 หารด้วย 5, 13 หารด้วย8, 21 หารด้วย 13 ได้ผลลัพธ์ที่ใกล้เคียงเลข 1.618 และเมื่อตัวเลขเพิ่มขึ้น ผลลัพธ์ที่ได้จะยิ่งใกล้เคียง 1.618 เป็นลำดับ ปราชญ์ในอดีตจึงเรียกชื่อตัวเลข 1.618 นี้เป็นภาษากรีกโบราณว่า ฟี (Phi) หรือ อัตราส่วนทองคำ (Golden ratio) และถือเป็นสัดส่วนที่ธรรมชาติได้บรรจงสร้างไว้อย่างมหัศจรรย์

จำนวนพาลินโดรม(Palindrome Numbers)

จำนวนพาลินโดรม(Palindrome Number) เป็นคำหรือวลีที่สามารถเขียนตัวอักษรเรียงย้อนกลับจากหลังไปหน้าหรือจากขวาไปซ้ายแล้วยังสามารถอ่านออกเสียงได้ เช่น งง กนก ยาย นาน DAD MOM EYE

คำว่า พาลินโดรม เป็นภาษากรีก แปลว่า วิ่งกลับไปที่เดิมอีก (running back again)

พาลินโดรม เป็นจำนวนนับที่เมื่อเขียนเลขโดดเรียงย้อนกลับจากหลังไปหน้าหรือจากขวาไปซ้าย แล้วจำนวนเดิม เช่น 5, 33, 212, 656 และ 989

พาลินโดรม ที่มีหนึ่งหลัก ได้แก่  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 และ 9

พาลินโดรม ที่มีสองหลัก ได้แก่ 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88 และ 99

การสร้างพาลินโดรม

เมื่อนำจำนวนนับที่มีสองหลักมาบวกกับจำนวนที่ได้จากการเขียนเลขโดดเรียงย้อนกลับจากหลังไปหน้าของจำนวนเดิม ถ้าผลลัพธ์ยังไม่เป็นพาลินโดรม ให้นำผลลัพธ์นั้นไปหผลบวกกับจำนวนที่ได้จากการเขียนเลขโดดเรียงย้อนกลับจากหลังไปหน้าของผลลัพธ์นั้นอีก ทำเช่นนี้ไปเรื่อย ๆ จนกว่าจะได้พาลินโดรม

สรุป พาลินโดรม คือจำนวนที่สามารถเขียนเรียงย้อนกลับไปกลับมาจากหน้าไปหลังได้ หรือจากหลังไปหน้าได้ ผลลัพธ์ที่ได้ยังเป็นจำนวนเดิมนั่นเอง

จํานวนพาลินโดรม 1 หลัก มีทั้งหมด 9 ตัว
1 2 3 4 5 6 7 8 9

จํานวนพาลินโดรม 2 หลัก มีทั้งหมด 9 ตัว
11 22 33 44 55 66 77 88 99

จํานวนพาลินโดรม 3 หลัก มีทั้งหมด 90 ตัว
101 202 303 404 505 606 707 808 909 111 212 313 414 515 616 717 818 919 121 222 323 424 525 626 727 828 929 131 232 333 434 535 636 737 838 939 141 242 343 444 545 646 747 848 949 151 252 353 454 555 656 757 858 959 161 262 363 464 565 666 767 868 969 171 272 373 474 575 676 777 878 979 181 282 383 484 585 686 787 888 989 191 292 393 494 595 696 797 898 999

จํานวนพาลินโดรม 4 หลัก มีทั้งหมด 90 ตัว
1001 2002 3003 4004 5005 6006 7007 8008 9009 1111 2112 3113 4114 5115 6116 7117 8118 9119 1221 2222 3223 4224 5225 6226 7227 8228 9229 1331 2332 3333 4334 5335 6336 7337 8338 9339 1441 2442 3443 4444 5445 6446 7447 8448 9449 1551 2552 3553 4554 5555 6556 7557 8558 9559 1661 2662 3663 4664 5665 6666 7667 8668 9669 1771 2772 3773 4774 5775 6776 7777 8778 9779 1881 2882 3883 4884 5885 6886 7887 8888 9889 1991 2992 3993 4994 5995 6996 7997 8998 9999

ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน(Standard Deviation:SD) คือ

บทความนี้เรามาดูจักและหาค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานกันครับ ซึ่งเป็นค่าที่ใช้กันอย่างแพร่หลาย และมีในบทเรียนสำหรับนักเรียนด้วย

ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน คือ

- ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน สามารถเขียนเป็นภาษาอังกฤษได้ คือ standard deviation คำย่อคือ SD

- ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน สามารถเรียกได้หลาย ๆ แบบ เช่น ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน หรือ ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน หรือ ความเบี่ยงเบนมาตรฐาน

- ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน เป็นค่าที่บ่งบอกถึงการกระจายของข้อมูล

วิธีการหาค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน

การหาค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานนั้น สามารถหาได้จากสูตร

แต่ข้อมูลที่มีการแจกแจงความถี่แล้ว เราจะหาค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานได้จากสูตร

สัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์

เรามาดูสัญลักษณ์พื้นฐานทางคณิตศาสตร์กันครับ บางสัญลักษณ์อาจจะไม่มีอยู่ในแป้นพิมพ์เวลาใช้ก็ก็อบไปใช้เอานะครับ เพื่อความสะดวกเวลาจะใช้สัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์

สัญลักษณ์พื้นฐานทางคณิตศาสตร์

n จำนวนบวก
-n จำนวนลบ

+ เครื่องหมายบวก
- เครื่องหมายลบ
× หรือ * เครื่องหมายคูณ
÷ เครื่องหมายหาร
± จำนวนบวกหรือจำนวนลบ
∓ จำนวนลบหรือจำนวนบวก

n² จำนวนยกกำลังสอง
n³ จำนวนยกกำลังสาม
√n รากที่สอง
∛n รากที่สาม

< น้อยกว่า
> มากกว่า
≤ น้อยกว่าหรือเท่ากับ
≥ มากกว่าหรือเท่ากับ
= เท่ากับ
≠ ไม่เท่ากับ

% เปอร์เซนต์ 1% = 1/100
‰ per-mille 1‰ = 1/1000 = 0.1%
ppm per-million 1ppm = 1/1000000
ppb per-billion 1ppb = 1/1000000000
ppt per-trillion 1ppt = 10-12

สัญลักษณ์รูปทรงเรขาคณิตทางคณิตศาสตร์

∠ มุม
∟ มุมฉาก
n° องศา
θ มุมที่ไม่ทราบค่า ทีตา
α มุมที่ไม่ทราบว่า แอลฟา
Δ สามเหลี่ยม
π ค่า pi
เส้นตรง เส้นตรง
รังสี รังสี
เส้นโค้ง เส้นโค้ง

สัญลักษณ์พีชคณิตทางคณิตศาสตร์

≡ เครื่องหมายเอกลักษณ์
≈ ค่าประมาณ
∑ ผลรวม
n : m อัตราส่วน
⌊x⌋ ปัดเศษเป็นจำนวนเต็มที่ตำกว่า
⌈x⌉ ปัดเศษเป็นจำนวนเต็มที่มากกว่า
x! factorial
∝ เป็นสัดส่วนกับ

สัญลักษณ์เกี่ยวกับเซต

{n} เซต
{} หรือ Φ เซตว่าง
∈ เป็นสมาชิกของ
∉ ไม่เป็นสมาชิกของ
U เอกภพสัมพัทธ์
υ ยูเนียน หรือถ้วย
∩ อิเตอร์เซกชัน หรือหมวก
⊆ ซับเซต
⊄ ไม่เป็นซับเซต
⊇ ซูปเปอร์เซต
⊅ ไม่ใช่ซูปเปอร์เซต

ระบบเมตริก(metric)

ระบบเมตริก คือ หน่วยวัดความยาวเป็น มิลลิเมตร เมตร กิโลเมตร หน่วยวัดน้ำหนักเป็นกรัม กิโลกรัม หน่วยวัดอุณหภูมิเป็น เซนติเกรด (ปัจจุบันเปลี่ยนเป็นเซลเซียส)

ระบบเมตริก เริ่มใช้กันภายหลังการปฏิวัติในฝรั่งเศส ในปี ค.ศ. 1789 นักวิทยาศาสตร์ชาวฝรั่งเศสได้ประชุมร่วมกันจัดตั้งมาตรฐานในการวัดขึ้น พวกนักวิทยาศาสตร์เหล่านั้นได้ทำการวัด และคำนวณระยะทางจากขั้วโลกเหนือ จนถึงเส้นศูนย์สูตร แล้วแบ่งเป็น 10 ล้านส่วน แต่ละส่วนเรียกว่า 1 เมตร ระบบเมตริกเป็นระบบที่ใช้สิบหรือทศนิยมเป็นหลักเช่น 10 เซนติเมตรเท่ากับ 1 เดซิเมตร 10 เดซิเมตรเท่ากับ 1 เมตร ความยาว 1 เมตรมาตรฐานทำด้วยแท่งโลหะ เก็บไว้ที่กรุงปารีส

หน่วยวัดความยาวระบบเมตริก

10 มิลลิเมตร = 1 เซนติเมตร
10 เซนติเมตร = 1 เดซิเมตร
10 เดซิเมตร = 1 เมตร
10 เมตร = 1 เดคาเมตร
10 เดคาเมตร = 1 เฮกโตเมตร
10 เฮกโตเมตร = 1 กิโลเมตร

หน่วยวัดน้ำหนักระบบเมตริก

10 มิลลิกรัม = 1 เซนติกรัม
10 เซนติกรัม = 1 เดซิกรัม
10 เดซิกรัม = 1 กรัม
10 เดคากรัม = 1 เฮกโตกรัม
10 เฮกโตกรัม = 1 กิโลกรัม
1,000 กิโลกรัม = 1 เมตริกตันหรือตัน