สรุปบทเรียนคณิตศาสตร์ ม.3 ระบบสมการ(System of Equations)

สรุปบทเรียนคณิตศาสตร์ มัธยมศึกษาปีที่ 3 คณิตศาสตร์เพิ่มเติม ภาคเรียนที่ 2 เรื่อง ระบบสมการ(System of Equations)

ระบบสมการ

ระบบสมการ หมายถึง ความสัมพันธ์ระหว่างสมการสองตัวแปรสองสมการ ซึ่งอาจเป็นความสัมพันธ์ใน 3 แบบ ดังนี้

สมการเชิงเส้นกับสมการเชิงเส้น

เช่น

3x + 5 = 5

x - y = 3

สมการเชิงเส้นกับสมการกำลังสอง

เช่น

x - y = 1

x² + y² = 3

สมการกำลังสองกับสมการกำลังสอง

เช่น

2x² + 3xy = 11
3x² + 2xy = 10

การหาคำตอบของระบบสมการ

การหาคำตอบของระบบสมการมี 2 วิธี คือ

การหาคำตอบโดยใช้กราฟ

การหาคำตอบโดยใช้กราฟ วิธีนี้หาคำตอบจากจุดตัดกันของกราฟ ในทางปฏิบัติไม่ใช่วิธีที่กระทัดรัด แต่เรียนเพื่อให้รู้ว่ากราฟเป็นวิธีหนึ่งที่ช่วยหาคำตอบของระบบสมการได้

การหาคำตอบโดยใช้ระบบการแก้สมการทางพีชคณิต

การหาคำตอบโดยใช้ระบบการแก้สมการทางพีชคณิต ซึ่งนิยมใช้กันในทางปฏิบัติ และไม่ต้องเขียนกราฟ

วิธีแก้ระบบสมการ

หลัการแก้ระบบสมการกำลังสองสองตัวแปร คือ การลดตัวแปรให้เหลือเพียงตัวแปรเดียว อาจทำได้โดยวิธีแทนค่าตัวแปรหนึ่งในรูปตัวแปรอีกตัวแปรหนึ่ง หรือการบวก ลบ สมการทั้งสอง

ระบบสมการที่ประกอบด้วยสมการเชิงเส้นและสมการดีกรีสอง

หลักการ

1. นำสมการเชิงเส้นมาหาค่า x ในเทอมของ y หรือหาค่า y ในเทอมของ x

ตัวอย่าง

3x + y = 5

หาค่า x ในเทอมของ y จะได้ x = (5 - y)/3

หาค่า y ในเทอมของ x จะได้ y = 5 - 3x

2. นำค่า x หรือค่า y แทนค่าในสมการดีกรีสองที่เหลือเพื่อหาค่า x หรือ y

ตัวอย่าง จงแก้สมการ

3x + y = 5 (1)

2x² + y² = 6 (2)
จาก (1) จะได้ y = 5 - 3x
นำค่า y แทนใน (2) จะได้
2x² + (5 - 3x)² = 6
x = 19/11 หรือ 1
นำค่า x = 19/11 หรือ 1 แทนค่าใน (1) จะได้ค่า y = -(7/11) หรือ 2
ดังนั้น
ถ้า x = 19/11, y = -(7/11)
ถ้า x = 1, y = 2

ระบบสมการที่ประกอบด้วยสมการดีกรีสองและสมการดีกรีสอง

หลักการ

ทำให้ตัวแปรใดตัวแปรหนึ่งหมดไปก่อน แล้วหาค่าตัวแปรที่เหลือ

ตัวอย่าง จงแก้สมการ
x² + y² = 10 (1)
2x² - y² = 17 (2)
ทำให้ตัวแปร y หมดไป โดยเอา (1) + (2)
จะได้
3x² = 27
x = ±3
นำค่า x = 3 แทนค่าใน (1) จะได้ y = ±1
ทำนองเดียวกัน นำค่า x = -3 แทนค่าใน (1) จะได้ y = 1
ดังนั้น
คำตอบของสมการ คือ (3, 1), (3, -1), (-3, 1), (-3, -1)


ดูบทเรียนอื่น ๆ เพิ่มเติมได้ที่ http://www.doesystem.info/p/mathematics.html

สรุปบทเรียนคณิตศาสตร์ ม.3 ความน่าจะเป็น(probability)

สรุปบทเรียนคณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 3 เรื่อง ความน่าจะเป็น (probability) คณิตศาสตร์พื้นฐาน ภาคเรียนที่ 2

ความน่าจะเป็น

ความน่าจะเป็น หมายถึง จำนวนที่แสดงให้ทราบว่าเหตุการณ์ใดเหตุการณ์หนึ่งมีโอกาสที่จะเกิดขึ้นมากน้อยเพียงใด เช่น ในกล่องใบหนึ่งมีลูกบอลสีแดง 5 ลูก สีขาว 3 ลูก หลับตาหยิบขึ้นมา 1 ลูก โอกาสที่จะหยิบได้ลูกบอลสีใดมากกว่ากัน

กรณีนี้ตอบได้ว่า โอกาสหยิบลูกบอลสีแดงได้มากกว่า เพราะในจำนวน 8 ลูก เป็นลูกสีแดงถึง 5 ลูก แต่มีลูกสีขาวเพียง 3 ลูกเท่านั้น

การทดลองสุ่ม

การทดลองสุ่ม หมายถึง การทดลองซึ่งทราบผลลัพธ์ว่าจะเกิดอะไรได้บ้าง แต่ไม่สามารถพยากรณ์ผลที่เกิดขึ้นแต่ละครั้งว่าจะเป็นอะไร เช่น ในการโยนเหรียญเที่ยงตรง 1 เหรียญ เราทราบว่า ถ้าไม่ขึ้นหัวก็ต้องขึนก้อย แต่ในการโยนแต่ละครั้งไม่อาจบอกได้ว่าจะขึ้นหัวหรือขึ้นก้อย

แซมเปิลสเปซ

แซมเปิลสเปซ หมายถึง ผลทั้งหมดที่เกิดจากการทดลองสุ่ม เช่น โยนลูกเต๋า 1 ลูก 1 ครั้ง ผลที่เป็นไปได้ทั้งหมด = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

ถ้าให้ S แทน แซมเปิลสเปซ จะได้ S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

สูตรในการหาแซมเปิลสเปซ

1. โยนเหรียญ 1 อัน n ครั้ง จะได้

S = 2ⁿ(เหรียญมี 2 หน้า และ n คือ จำนวนครั้งที่โยน)
2. โยนเหรียญ n อัน 1 ครั้ง จะได้
S = 2ⁿ(n คือจำนวนเหรียญที่โยน)
3. ทอดลูกเต๋า 1 ลูก n ครั้ง จะได้
S = 6ⁿ(ลูกเต๋ามี 6 หน้า n คือจำนวนครั้งที่โยน)
4. ทอดลูกเต๋า n ลูก 1 ครั้ง
S = 6ⁿ(n คือจำนวนลูกเต๋า)

เหตุการณ์

เหตุการณ์ หมายถึง การทดลองสุ่มแต่ละครั้งที่เราสนใจ เช่น ในการโยนเหรียญ 1 เหรียญ 2 ครั้ง สนใจที่จะขึ้นหัวทั้ง 2 ครั้ง เป็นดังนี้

ถ้า

S แทน แซมเปิลสเปซ

E แทน เหตุการณ์ที่สนใจ(ในที่นี้สนใจขึ้น H 2 ครั้ง)

จะได้

S = {HH, HT, TH, TT}

E = {HH} ซึ่งมีเหตุการณ์เดียว

ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์

ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ คือ จำนวนจำนวนหนึ่งที่บอกถึงโอกาสมากน้อยที่จะเกิดขึ้นในแต่ละเหตุการณ์ที่เราสนใจ

สูตรความน่าจะเป็นของเหตุการณ์

ความน่าจะเป็นของเหตุกาณ์ = (จำนวนผลลัพธ์ของเหตุการณ์/จำนวนผลลัพธ์ทั้งหมดที่อาจจะเกิดขึ้นได้)

เขียนได้เป็น P(E) = n(E)/n(S) เมื่อ n คือจำนวนเหตุการณ์

สรุปทฤษฎีความน่าจะเป็นของเหตุการณ์

ถ้า S แทน แซมเปิลสเปซ E แทนเหตุการณ์ใด ๆ ในแซมเปิลสเปซ

จะได้

1. 0 ≤ P(E) ≤ 1
2. P(E) = 1 เมื่อ n(E) = n(S)
3. P(Φ) = 0 เมื่อไม่มีเหตุการณ์ที่สนใจ

ตัวอย่างความน่าจะเป็น

ตัวอย่างโจทย์ความน่าจะเป็น

ในการโยนเหรียญ 1 อัน 2 ครั้ง จงหาความน่าจะเป็นที่

S = {HH, HT, TH, TT}

n(S) = 4

1. เหรียญขึ้นหัวทั้งสองอัน

E = {HH}, n(E) = 1

นั่นคือ P(E) = 1/4

2. เหรียญขึ้นหน้าเหมือนกันทั้งสองครั้ง

E = {HH, TT}, n(E) = 2

นั่นคือ P(E) = 2/4 = 1/2

3. เหรียญขึ้นหัวอย่างน้อย 1 ครั้ง

E = {HH, HT, TH}, n(E) = 3

ดังนั้น P(E) = 3/4

ดูบทเรียนอื่น ๆ เพิ่มเติมได้ที่ http://www.doesystem.info/p/mathematics.html

สรุปบทเรียนคณิตศาสตร์ ม.3 อสมการ(inequality)

สรุปบทเรียนคณิตศาสตร์ชั้น มัธยมศึกษาปีที่ 3 สาระการเรียนรู้พื้นฐาน ภาคเรียนที่ 2 เรื่องอสมการ(inequality)

อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว

อสมการ เป็นประโยคที่แสดงถึงความสัมพันธ์ของจำนวนโดยมีสัญลักษณ์ <, >, ≤, ≥, หรือ ≠ แสดงความสัมพันธ์

ในแต่ละอสมการอาจมีตัวแปรหรือไม่มีตัวแปรก็ได้ ถ้าอสมการมีตัวแปร ตัวแปรนั้นจะแทนจำนวน ในกรณีที่ไม่ระบุเงื่อนไขของตัวแปร ให้ถือว่าตัวแปรนั้นแทนจำนวนจริงใด ๆ

เช่น
4 + 5 > 8 เป็นอสมการที่ไม่มีตัวแปร
3x + 10 ≥ 19 เป็นอสมการที่มีตัวแปร(มีตัวแปรเป็น x)

อสมการที่มีตัวแปรเดียวและดีกรีของพหุนามเท่ากับ 1 เรียกว่า อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว

เช่น
3x + 2 > 5
5x - 10 ≤ 20
8a - 2 ≠ 4a

เรียกอสมการที่มีคำตอบเหมือนกันทุกคำตอบว่าเป็น อสมการที่สมมูลกัน

เช่น
อสมการ 2x + 3 > 5 สมมูลกับ x > 1
อสมการ (0.5)m - 1.5 ≤ สมมูลกับ 4m - 8 ≤ 20

การแก้อสมการจำเป็นต้องใช้สมบัติการไม่เท่ากันที่สำคัญดังนี้

กำหนด a, b, c และ d เป็นจำนวนจริงใด ๆ โดยที่ d ≠ 0 จะได้

1. ถ้า a < b แล้ว a + c < b + c
2. ถ้า a < b และ d > 0 แล้ว ad < bd
3. ถ้า a < b และ d < 0 แล้ว ad > bd
4. ถ้า a < b และ b < c แล้ว a < c

หมายเหตุ
สำหรับ ≤ ก็มีสมบัติเช่นเดียวกับ < ใน 4 ข้อข้างต้น

คำตอบของอสมการ คือ จำนวนที่แทนตัวแปรในอสมการแล้วทำให้อสมการเป็นจริง

อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว อาจมีคำตอบได้หลายลักษณะ ดังตัวอย่างต่อไปนี้

กำหนดให้ a และ b แทนจำนวนจริงใด ๆโดยที่ a < b สามารถเขียนคำตอบบนเส้นจำนวนได้ เช่น

การแก้อสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว

การแก้อสมการ คือ การหาคำตอบของอสมการโดยใช้สมบัติต่าง ๆ ได้แก่ สมบัติการบวกของการไม่เท่ากัน เมื่อ a, b และ c แทนจำนวนจริงใด ๆ

1. ถ้า a < b แล้ว a + c < b + c

2. ถ้า a ≤ b แล้ว a + c ≤ b + c

3. ถ้า a > b แล้ว a + c > b + c

4. ถ้า a ≥ b แล้ว a + c ≥ b + c

สมบัติการคูณของการไม่เท่ากัน

ให้ a, b และ c แทนจำนวนจริงใด ๆ

1. ถ้า a < b และ c เป็นจำนวนจริงบวก แล้ว ac < bc

2. ถ้า a ≤ b และ c เป็นจำนวนจริงบวก แล้ว ac ≤ bc

3. ถ้า a < b และ c เป็นจำนวนจริงลบ แล้ว ac > bc

4. ถ้า a ≤ b และ c เป็นจำนวนจริงลบ แล้ว ac ≥ bc

5. ถ้า a > b และ c เป็นจำนวนจริงบวก แล้ว ac > bc

6. ถ้า a ≥ b และ c เป็นจำนวนจริงบวก แล้ว ac ≥ bc

7. ถ้า a > b และ c เป็นจำนวนจริงลบ แล้ว ac < bc

8. ถ้า a ≥ b และ c เป็นจำนวนจริงลบ แล้ว ac ≤ bc

ตัวอย่างการแก้อสมการ

ตัวอย่าง จงแก้อสมการและเขียนกราฟแสดงคำตอบ

7(x + 3) - 5 ≤ 4x + 8

7x + 21 - 5 ≤ 4x + 8

7x + 16 ≤ 4x + 8

3x ≤ -8

x ≤ -8/3

x ≤ -2(2/3)

เขียนกราฟแสดงคำตอบได้ดังนี้

ดูบทเรียนอื่น ๆ เพิ่มเติมได้ที่ http://www.doesystem.info/p/mathematics.html