สรุปบทเรียนคณิตศาสตร์ ม.2 การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสอง(Factoring polynomials of degree two)

สรุปบทเรียนคณิตศาสตร์ ม.2 การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสอง(Factoring polynomials of degree two) ภาคเรียนที่ 2 คณิตศาสตร์เพิ่มเติม

การแยกตัวประกอบของพหุนาม คือ การเขียนพหุนามที่กำหนดให้ในรูปการคูณกันของพหุนามที่มีดีกรีต่ำกว่า ตั้งแต่สองพจน์ขึ้นไป หรือเขียนพหุนามที่กำหนดให้ในรูปที่ง่ายกว่า

การแยกตัวประกอบ

การแยกตัวประกอบโดยใช้สมบัติการแจกแจง

สมบัติการแจกแจงกล่าวว่า ถ้า a, b และ c แทนจำนวนเต็มใด ๆ แล้ว

a(b + c) = ab + ac หรือ (b + c)a = ba + ca

อาจเขียนสมบัติการแจกแจงข้างต้นใหม่ ดังนี้

ab + ac = a(b + c) หรือ ba + ca = (b + c)a

โจทย์ตัวอย่าง จงแยกตัวประกอบของ 18x³y³ - 27x⁵y
วิธีทำ
18x³y³ - 27x⁵y = 9x³y(2y² - 3x²)

การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองตัวแปรเดียว

พหุนามดีกรีสองตัวแปรเดียว คือ พหุนามที่เขียนได้ในรูป ax² + bx + c เมื่อ a, b, c เป็นค่าคงที่และ a ≠ 0 และ x เป็นตัวแปร

การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองในรูป ax² + bx + c เมื่อ a, b เป็นจำนวนเต็ม และ c = 0

โจทย์ตัวอย่าง จงแยกตัวประกอบของ -5x² - 10x
วิธีทำ -5x² - 10x = -5x(x + 2)

การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองในรูป ax² + bx + c เมื่อ a = 1, b และ c เป็นจำนวนเต็ม และ c ≠ 0

โจทย์ตัวอย่าง จงแยกตัวประกอบของ x2 - 28x + 195
วิธีทำ
เนื่องจาก (-13)(-15) = 195
และ (-13) + (-15) = -28
ดังนั้น x² - 28x + 195 = (x - 13)(x - 15)

การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองในรูป ax² + bx + c เมื่อ a, b, c เป็นจำนวนเต็ม และ a ≠ 0, a ≠ 1, c ≠ 0

เรียก ax² ว่า พจน์หน้า
เรียก bx ว่า พจน์กลาง
เรียก c ว่า พจน์หลัง

การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองที่เป็นกำลังสองสมบูรณ์

พิจารณาโจทย์

x² + 4x + 4 = (x + 2)(x + 2) = (x + 2)² 
เราจะเรียกโจทย์ลักษณะนี้ว่า พหุนามดีกรีสองที่เป็นกำลังสองสมบูรณ์

ในกรณีทั่ว ๆ ไป ถ้าให้ A แทนพจน์หน้า และ B แทนพจน์หลัง จะแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองที่เป็นกำลังสองสมบูรณ์ได้ตามสูตร ดังนี้

A² + 2AB + B² = (A + B)²
A² - 2AB + B² = (A - B)²

ข้อสังเกต
1. ลักษณะโจทย์เหมือนกับโจทย์ที่แยกโดยวิธีสามพจน์แยกเป็นสองวงเล็บ
2. สัมประสิทธิ์ของพจน์กำลังสูงสุดต้องเป็น 1
3. พจน์ท้ายเกิดจาก (พจน์กลาง/(2พจน์ต้น))² บวกเข้า และลบออก
4. จัดกำลังสองสมบูรณ์
5. แยกตัวประกอบต่อโดยใช้ผลต่างกำลังสอง

การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองที่เป็นผลต่างของกำลังสอง

พิจารณาการแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองต่อไปนี้

โจทย์ตัวอย่าง จงแยกตัวประกอบของ 81x² - 49

วิธีทำ

81x² - 49 = (9x)² - 7² = (9x - 7)(9x + 7)
เราจะเรียกโจทย์ลักษณะนี้ว่า พหุนามดีกรีสองที่เป็นผลต่างของกำลังสอง

ข้อควรจำ
จากสูตร A² - B² = (A + B)(A - B)
จำง่าย ๆ
(หน้า)² - (หลัง)² = (หน้า + หลัง)(หน้า - หลัง)


ดูบทเรียนอื่น ๆ เพิ่มเติมได้ที่ http://www.doesystem.info/p/mathematics.html

สรุปบทเรียนคณิตศาสตร์ ม.2 การประยุกต์ของสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว(The application of linear equations with one variable)

สรุปบทเรียนคณิตศาสตร์ ม.2 การประยุกต์ของสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว(The application of linear equations with one variable)

การแก้สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว

สมการ(Equation)

สมการ คือ ประโยคสัญลักษณ์ที่มีเครื่องหมาย "=" แสดงการเท่ากันของจำนวนสองจำนวน สมการอาจมีตัวแปรหรือไม่ก็ได้ เช่น

3x + 10 = 19 (เป็นการเท่ากันของจำนวนหนึ่งคือ 3x + 10 กับอีกจำนวนหนึ่ง คือ 19)

2a + 40 = 80 (เป็นการเท่ากันของจำนวนหนึ่งคือ 2a + 40 กับอีกจำนวนหนึ่ง คือ 80)

11 - 2 = 9 (เป็นการเท่ากันของจำนวนหนึ่งคือ 11 - 2 กับอีกจำนวนหนึ่ง คือ 9)

สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว

สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว คือ สมการที่มีตัวแปรเพียงตัวเดียวเขียนอยู่ในรูป ax + b = 0 เมื่อ ax + b เป็นพหุนามดีกรี 1 มี x เป็นตัวแปร a, b เป็นค่าคงที่ และ a ≠ 0

การแก้สมการ

การแก้สมการ คือ การหาคำตอบของสมการซึ่งทำให้สมการนั้นเป็นจริง ซึ่งต้องใช้สมบัติการเท่ากัน ซึ่งได้แก่ สมบัติสมมาตร สมบัติการถ่ายทอด สมบัติการบวก และสมบัติการคูณ

คำตอบของสมการ

คำตอบของสมการ คือ จำนวนที่แทนค่าของตัวแปรในสมการแล้วทำให้สมการเป็นจริง เช่น

3x + 10 = 19, x มีค่าเท่ากับ 3 แล้วทำให้สมการเป็นจริง เรียก x = 3 ว่าเป็นคำตอบของสมการ

2a + 40 = 80, a มีค่าเท่ากับ 20 แล้วทำให้สมการเป็นจริง เรียก a = 20 ว่าเป็นคำตอบของสมการ

ตัวอย่างการแก้สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว

การแก้สมการ คือการหาคำตอบของสมการและทำให้สมการนั้นเป็นจริง ดังนั้นเรามาดูตัวอย่างการแก้สมการเพื่อหาคำตอบของสมการกัน

ตัวอย่าง

จงแก้สมการ 3x + 10 = 19

วิธีทำ

(ถ้าทั้งสองข้างเท่ากันเราก็สามารถนำค่าคงที่มาบวก ลบ คูณ หาร ทั้งสองข้างได้)

3x + 10 - 10 = 19 - 10

3x/3 = 9/3

x = 3 เพราะฉะนั้น x มีค่าเท่ากับ 3

ตรวจคำตอบ

จากโจทย์ 3x + 10 = 19 เมื่อแทน x เท่ากับ 3 แล้วจะได้ 3(3) + 10 = 19 ซึ่งเป็นจริง

หมายเหตุ

การที่จะทราบว่าคำตอบนั้นถูกต้องหรือไม่ก็ลองนำคำตอบนั้นไปแทนค่าในสมการโจทย์ ถ้าทั้งสองข้างเท่ากันจริงก็แสดงว่าเป็นคำตอบของสมการ

โจทย์สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว

การแก้โจทย์สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียวต้องเขียนโจทย์สมการเชิงเส้นให้อยู่ในรูปของสัญลักษณ์ โดยสมมติสิ่งที่โจทย์ต้องการให้เป็นตัวแปรแล้วแก้สมการโดยใช้สมบัติการเท่ากันดังกล่าวข้างต้น

ตัวอย่าง

จำนวนเต็มบวกสามจำนวนเรียงกัน เช่น 3, 4, 5 รวมกันได้ 144 จงหาเลข 3 จำนวนนั้น

วิธีทำ

โจทย์ต้องการรู้ว่าเลขสามจำนวนเรียงกัน ซึ่งเราสมมติว่าตัวเลขแรกคือ x ตัวที่สองก็ต้องเป็น x + 1 ตัวที่สามก็ต้องเป็น x + 2

ดังนั้น จะได้ว่า x + (x + 1) + (x + 2) = 144
เมื่อได้ประโยคสัญลักษณ์แล้วเราก็หาคำตอบของ x โดยการแก้สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
x + (x + 1) + (x + 2) = 144
3x + 3 - 3= 144 -3
3x/3 = 141/3
x = 47 คำตอบของสมการคือ x = 47

ดังนั้นเลขสามตัวเรียงกันคือ 47, 48, 49 เมื่อบวกกันแล้วได้ 144

สรุปสูตรสำคัญที่ควรทราบ

สูตรความเร็ว ระยะทาง และเวลา

ความเร็ว = ระยะทาง ÷ เวลา
ระยะทาง = ความเร็ว x เวลา
เวลา = ระยะทาง ÷ ความเร็ว

สูตรการเคลื่อนที่ของสิ่งของสองสิ่ง

ก. เมื่อเคลื่อนที่เข้าหากัน ระยะทาง = เวลา x ผลบวกของความเร็ว

ข. เมื่อเคลื่อนที่ตามกัน ระยะทาง = เวลา x ผลต่างของความเร็ว

สูตรระยะทาง เวลา และกระแสน้ำ

ความเร็วตามน้ำ = ความเร็วในน้ำนิ่ง + ความเร็วกระแสน้ำ

ความเร็วทวนน้ำ = ความเร็วในน้ำนิ่ง - ความเร็วกระแสน้ำ

ความเร็วในน้ำนิ่ง = (ความเร็วตามน้ำ + ความเร็วทวนน้ำ)/2

ความเร็วกระแสน้ำ = (ความเร็วตามน้ำ - ความเร็วทวนน้ำ)/2

ดูบทเรียนอื่น ๆ เพิ่มเติมได้ที่ http://www.doesystem.info/p/mathematics.html

สรุปบทเรียนคณิตศาสตร์ ม.2 การวัด(measurement)

สรุปบทเรียนคณิตศาสตร์ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 เรื่องการวัด คณิตศาสตร์พื้นฐาน

การวัด

การวัดคืออะไร?

เราเรียกการชั่งน้ำหนักว่า การวัดน้ำหนัก

เราเรียกการตวงว่า การวัดปริมาตร

เราเรียกการจับเวลาว่า การวัดเวลา

ในการวัดแต่ละอย่างนั้นจะมีหน่วยการวัด เช่น
- วัดความยาว จะใช้หน่วยเป็น เซนติเมตร นิ้ว เมตร วา เป็นต้น
- วัดพื้นที่ จะใช้หน่วยเป็น ไร่หรือตารางเมตร เป็นต้น
- วัดปริมาตร จะใช้หน่วยเป็น ลูกบาศก์เซนติเมตร ลูกบาศก์นิ้ว เป็นต้น
- วัดน้ำหนัก จะใช้หน่วยเป็น กิโลกรัมหรือปอนด์ เป็นต้น
- วัดเวลา จะใช้หน่วยเป็น นาที วินาที ชั่วโมง เป็นต้น
- วัดอุณหภูมิ จะใช้หน่วยเป็น องศาเซลเซียสหรือองศาฟาเรนไฮต์ เป็นต้น

จะเห็นว่าในการวัดนั้นการวัดแต่ละอย่างจะมีหน่วยที่ใช้บอกขนาดอยู่ การวัดแต่ละอย่างก็ใช้หน่วยที่ต่างกัน และการวัดเดียวกันก็มีหลายหน่วยให้เลือก

ปัจจุบันเราจะใช้หน่วยวัดระบบ S.I. ซึ่งเป็นหน่วยสากล ส่วนใหญ่ได้แก่ ระบบเมตริก เช่น มีหน่วยวัดความยาวเป็นเมตร หน่วยวัดพื้นที่เป็นตารางเมตร หน่วยวัดปริมาตรเป็นลูกบาศก์เมตร หน่วยวัดมวลเป็นกิโลกรัม หน่วยวัดเวลาเป็นวินาที เป็นต้น

การประมาณค่า

ถึงแม้ว่าการวัดนั้นจะมีการพัฒนาหน่วยการวัด และเครื่องมือวัดที่เป็นมาตรฐานและมีความเที่ยงตรงเพียงใดก็ตาม ค่าที่ได้เหล่านั้นก็เป็นเพียงค่าประมาณที่ได้จากการวัดตามหน่วยวัดที่เหมาะสมเท่านั้น

การประมาณค่า เป็นวิธีการที่ช่วยในการหาผลลัพธ์ของการบวก ลบ คูณ และหารจำนวน เพื่อให้ได้ผลลัพธ์อย่างรวดเร็ว โดยผลลัพธ์ใกล้เคียงกับคำตอบจริง

เราจะเรียกค่าที่ได้จากการบอกคร่าว ๆ เมื่อค่านั้นไม่จำเป็นต้องเป็นค่าที่แน่นอนหรือค่าที่นำไปใช้ เพื่อความสะดวกในการคำนวณ และให้ได้ผลลัพธ์อย่างรวดเร็วที่ใกล้เคียงกับคำตอบจริงหรือค่าที่เป็นผลลัพธ์ ซึ่งได้จากการประมาณค่าว่า ค่าประมาณ

ค่าประมาณจากการวัด

เพื่อที่จะให้ได้ผลลัพธ์จาการคำนวณรวดเร็ว และใกล้เคียงกับความเป็นจริง เราจะใช้การปัดเศษ และการประมาณค่าเข้ามาช่วยบ้างเป็นบางส่วน ทั้งนี้ต้องดูความเหมาะสมในการประมาณค่าด้วย

การปัดเศษ

การปัดเศษ เป็นการประมาณค่าอย่างหนึ่งโดยที่โจทย์จะต้องกำหนดให้หาค่าประมาณ เช่น ต้องการค่าประมาณจำนวนเต็มสิบ หรือเต็มร้อย หรือค่าทศนิยมตำแหน่งที่ 2, 3 เป็นต้น ผลลัพธ์จาการปัดเศษจะได้ค่าที่ใกล้เคียงกับความเป็นจริงมาก

การประมาณค่ากับจำนวนเต็มสิบ

การประมาณค่ากับจำนวนเต็มสิบให้ดูที่หลักหน่วย ดังนี้
1. ถ้าหลักหน่วยมีค่าต่ำกว่า 5 ให้ปัดทิ้ง เช่น 84 ปัดเป็น 80
2. ถ้าหลักหน่วยมีค่าเท่ากับ 5 หรือสูงกว่า ให้ปัดขึ้น เช่น 85 ปัดเป็น 90

การประมาณค่ากับจำนวนเต็มร้อย

การประมาณค่ากับจำนวนเต็มร้อยให้ดูที่หลักสิบ ดังนี้

1. ถ้าหลักสิบมีค่าต่ำกว่า 50 ให้ปัดทิ้ง เช่น 649 ปัดเป็น 600

2. ถ้าหลักสิบมีค่าเท่ากับ 50 หรือสูงกว่า ให้ปัดขึ้น เช่น 650 ปัดเป็น 700

หมายเหตุ
การประมาณค่ากับจำนวนเต็มพัน เต็มหมื่น ก็ให้พิจารณาในทำนองเดียวกันกับทำนองด้านต้น โดยพิจารณาหลักร้อย หลักพัน ฯลฯ

การปัดเศษเมื่อจำนวนนั้นเป็นทศนิยม

การปัดเศาเมื่อจำนวนนั้นเป็นทศนิยม ให้พิจารณาดังนี้

1. ถ้าต้องการจำนวนเต็มหลักหน่วย ให้ดูทศนิยมตำแหน่งที่ 1 ว่า

- ถ้าต่ำกว่า 5 ให้ปัดทิ้ง

- ถ้าเท่ากับ 5 หรือสูงกว่าให้ปัดขึ้น

- เช่น 3.4 ปัดเป็น 3 หรือ 3.5 ปัดเป็น 4

2. ถ้าโจทย์ต้องการทศนิยม 1 ตำแหน่ง ให้พิจารณาตำแหน่งที่ 2 ดังนี้

- ถ้าตำแหน่งที่ 2 น้อยกว่า 5 ให้ปัดทิ้ง

- ถ้าตำแหน่งที่ 2 เท่ากับ 5 หรือสูงกว่าให้ปัดขึ้น

- เช่น 6.34 ปัดเป็น 6.3 หรือ 6.35 ปัดเป็น 6.4

หมายเหตุ

- ถ้าโจทย์ต้องการประมาณค่าทศนิยม 2 ตำแหน่งหรือมากกว่า ให้พิจาณาให้ทำนองเดียวกันคือให้พิจาณาตำแหน่งที่ 3, 4, ... 

- การปัดเศษนั้น หาผลลัพธ์จากโจทย์ก่อน แล้วจึงปัดเศษเพื่อหาค่าประมาณเป็นคำตอบ

- การประมาณค่านั้น หาค่าประมาณก่อนแล้วนำไปแก้ปัญหาโจทย์จะได้ผลลัพธ์เป็นคำตอบของการประมาณค่าเลย

การเลือกใช้วิธีการประมาณค่าที่เหมาะสมในสถานการณ์ต่าง ๆ

เรานำวิธีการประมาณค่ามาใช้เพื่อช่วยในการคำนวณอย่างรวดเร็ว ดังนั้นค่าที่คำนวณได้จึงเป็น ค่าประมาณ การประมาณค่าจึงไม่สามารถใช้ได้กับทุกสถานการณ์ โดยเฉพาะอย่างยิ่งในสถาการณ์ที่ต้องการความถูกต้องถ้าเกิดความคลาดเคลื่อนอาจทำให้เกิดอันตราย เช่น ทางด้านการแพทย์ การคำนวณปริมาณยาที่จะให้กับผู้ป่วย ถ้าใช้การประมาณค่าอาจทำให้ผู้ป่วยได้รับอันตรายถึงขั้นเสียชีวิตได้ เป็นต้น

ดูบทเรียนอื่น ๆ เพิ่มเติมได้ที่ http://www.doesystem.info/p/mathematics.html

สรุปบทเรียนคณิตศาสตร์ ม.2 อัตราส่วน ร้อยละและการประยุกต์(Ratios and percentages)

สรุปบทเรียนคณิตศาสตร์ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 2 เรื่องอัตราส่วน ร้อยละและการประยุกต์ คณิตศาสตร์พื้นฐาน

อัตราส่วน คือ การเปรียบเทียบปริมาณตั้งแต่ 2 ปริมาณขึ้นไป
อัตราส่วน a ต่อ b เขียนแทนด้วย a : b หรือ a/b เรียก a ว่าจำนวนแรกหรือจำนวนที่หนึ่ง เรียก b ว่าจำนวนหลังหรือจำนวนที่ 2

ตัวอย่าง นักเรียนชาย 22 คน ต่อนักเรียนหญิง 25 คน เขียนได้เป็น 22 : 25 หรือ 22/25

ข้อควรระวัง  อัตราส่วน a : b ไม่เท่ากับ b : a นะ

อัตราส่วนที่เท่ากัน

อัตราส่วนที่เท่ากัน คือ อัตราส่วนที่มีค่าเท่ากัน เช่น 1/2 เท่ากับ 2/4 เพราะเมื่อเราทำ 2/4 ให้เป็นเศษส่วนอย่างต่ำแล้วจะได้เท่ากับ 1/2

การหาเศษส่วนที่เท่ากัน

ในการหาเศษส่วนที่เท่ากันนั้นสามารถแบ่งออกได้เป็น 2 วิธี คือ

1. การหาเศษส่วนที่เท่ากันด้วยวิธีการคูณ จะทำได้โดยการนำจำนวนที่ไม่เท่ากับศูนย์ไปคูณทั้งเศษและส่วน อัตราส่วนใหม่ที่เกิดขึ้นจะเท่ากับอัตราส่วนเดิม

2. การหาเศษส่วนที่เท่ากันด้วยวิธีการหาร จะทำได้โดยการนำจำนวนที่ไม่เท่ากับศูนย์ไปหารทั้งเศษและส่วน อัตราส่วนใหม่ที่เกิดขึ้นจะเท่ากับอัตราส่วนเดิม

การพิจารณาการเท่ากันของอัตราส่วน

การจะพิจารณาว่าอัตราส่วนสองอัตราส่วนใดจะเท่ากันหรือไม่ เราจะมีวิธีการพิจารณาโดยการคูณไขว้ ดังนี้

จากภาพ a : b กับ c : d เราจะทำ a คูณ d และ b คูณ c
1. ถ้า a x d = b x c แล้ว a : b = c : d
1. ถ้า a x d ≠ b x c แล้ว a : b ≠ c : d

อัตราส่วนของจำนวนหลาย ๆ จำนวน

อันตราส่วนของจำนวนหลาย ๆ จำนวน เป็นการเปรียบเทียบปริมาณที่มากกว่า 2 ปริมาณ ในรูปของอัตราส่วน

อัตราส่วนร่วม

อัตราส่วนร่วม คือ ค่าของค่า ๆ หนึ่งที่เมื่อเรานำอัตราส่วนหลาย ๆ จำนวนมาพิจารณา จะมีค่าที่ชนิดเดียวกันและมีขนาดเท่ากัน เราเรียกค่านี้ว่าอัตราส่วนร่วม

การหาอัตราส่วนร่วม

ตัวอย่าง การหาอัตราส่วนร่วม สมมติ หมาต่อแมว เป็น 3 : 5 และแมวต่อไก่เป็น 4 : 7 เราสามารถหาอัตราส่วนร่วมได้ดังนี้

วิธีทำ ค.ร.น. ของ 5 กับ 4 คือ 20
ดังนั้น 3 : 5 = 12 : 20 และ 4 : 7 = 20 : 35
เพราะฉะนั้น อัตราส่วนหมาต่อแมวต่อไก่ คือ 12 : 20 : 35

วิธีคิดลัด ให้เรานำอัตราส่วนมาเขียนก่อน จากนั้นให้ทำการคูณเหมือน ท ทหาร จะได้อัตราส่วนออกมา ตามรูปด้านล่าง

สัดส่วน

สัดส่วน คือ ประโยคที่แสดงการเท่ากันของอัตราส่วน 2 จำนวน

เช่น 3 : 5 = 12 : 20 หรือ 4 : 7 = 20 : 35 หรือ x : y = 3 : 9 หรือ x : 5 = 7 : 10

ในการหาค่าของตัวแปร ที่ไม่รู้ค่า เราสามารถหาค่าได้ จากสัดส่วนโดยใช้สมบัติการเท่ากันของอัตราส่วน 2 อัตราส่วน โดยการคูณไขว้ แล้วจึงทำการแก้สมการ

การแก้โจทย์ปัญหาเกี่ยวกับสัดส่วน

ในการแก้โจทย์ปัญหาเกี่ยวกับสัดส่วนนั้นมีวิธีการดังนี้

1. ให้สมมติตัวแปรของสิ่งที่โจทย์ต้องการหา

2. เปลี่ยนประโยคภาษาให้อยู่ในรูปของประโยคสัญลักษณ์

3. แก้สมการหาคำตอบของตัวแปร

ดูบทเรียนอื่น ๆ เพิ่มเติมได้ที่ http://www.doesystem.info/p/mathematics.html