สรุปบทเรียนคณิตศาสตร์ ม.2 การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสอง(Factoring polynomials of degree two)

สรุปบทเรียนคณิตศาสตร์ ม.2 การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสอง(Factoring polynomials of degree two) ภาคเรียนที่ 2 คณิตศาสตร์เพิ่มเติม

การแยกตัวประกอบของพหุนาม คือ การเขียนพหุนามที่กำหนดให้ในรูปการคูณกันของพหุนามที่มีดีกรีต่ำกว่า ตั้งแต่สองพจน์ขึ้นไป หรือเขียนพหุนามที่กำหนดให้ในรูปที่ง่ายกว่า

การแยกตัวประกอบ

การแยกตัวประกอบโดยใช้สมบัติการแจกแจง

สมบัติการแจกแจงกล่าวว่า ถ้า a, b และ c แทนจำนวนเต็มใด ๆ แล้ว

a(b + c) = ab + ac หรือ (b + c)a = ba + ca

อาจเขียนสมบัติการแจกแจงข้างต้นใหม่ ดังนี้

ab + ac = a(b + c) หรือ ba + ca = (b + c)a

โจทย์ตัวอย่าง จงแยกตัวประกอบของ 18x³y³ - 27x⁵y
วิธีทำ
18x³y³ - 27x⁵y = 9x³y(2y² - 3x²)

การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองตัวแปรเดียว

พหุนามดีกรีสองตัวแปรเดียว คือ พหุนามที่เขียนได้ในรูป ax² + bx + c เมื่อ a, b, c เป็นค่าคงที่และ a ≠ 0 และ x เป็นตัวแปร

การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองในรูป ax² + bx + c เมื่อ a, b เป็นจำนวนเต็ม และ c = 0

โจทย์ตัวอย่าง จงแยกตัวประกอบของ -5x² - 10x
วิธีทำ -5x² - 10x = -5x(x + 2)

การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองในรูป ax² + bx + c เมื่อ a = 1, b และ c เป็นจำนวนเต็ม และ c ≠ 0

โจทย์ตัวอย่าง จงแยกตัวประกอบของ x2 - 28x + 195
วิธีทำ
เนื่องจาก (-13)(-15) = 195
และ (-13) + (-15) = -28
ดังนั้น x² - 28x + 195 = (x - 13)(x - 15)

การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองในรูป ax² + bx + c เมื่อ a, b, c เป็นจำนวนเต็ม และ a ≠ 0, a ≠ 1, c ≠ 0

เรียก ax² ว่า พจน์หน้า
เรียก bx ว่า พจน์กลาง
เรียก c ว่า พจน์หลัง

การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองที่เป็นกำลังสองสมบูรณ์

พิจารณาโจทย์

x² + 4x + 4 = (x + 2)(x + 2) = (x + 2)² 
เราจะเรียกโจทย์ลักษณะนี้ว่า พหุนามดีกรีสองที่เป็นกำลังสองสมบูรณ์

ในกรณีทั่ว ๆ ไป ถ้าให้ A แทนพจน์หน้า และ B แทนพจน์หลัง จะแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองที่เป็นกำลังสองสมบูรณ์ได้ตามสูตร ดังนี้

A² + 2AB + B² = (A + B)²
A² - 2AB + B² = (A - B)²

ข้อสังเกต
1. ลักษณะโจทย์เหมือนกับโจทย์ที่แยกโดยวิธีสามพจน์แยกเป็นสองวงเล็บ
2. สัมประสิทธิ์ของพจน์กำลังสูงสุดต้องเป็น 1
3. พจน์ท้ายเกิดจาก (พจน์กลาง/(2พจน์ต้น))² บวกเข้า และลบออก
4. จัดกำลังสองสมบูรณ์
5. แยกตัวประกอบต่อโดยใช้ผลต่างกำลังสอง

การแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองที่เป็นผลต่างของกำลังสอง

พิจารณาการแยกตัวประกอบของพหุนามดีกรีสองต่อไปนี้

โจทย์ตัวอย่าง จงแยกตัวประกอบของ 81x² - 49

วิธีทำ

81x² - 49 = (9x)² - 7² = (9x - 7)(9x + 7)
เราจะเรียกโจทย์ลักษณะนี้ว่า พหุนามดีกรีสองที่เป็นผลต่างของกำลังสอง

ข้อควรจำ
จากสูตร A² - B² = (A + B)(A - B)
จำง่าย ๆ
(หน้า)² - (หลัง)² = (หน้า + หลัง)(หน้า - หลัง)


ดูบทเรียนอื่น ๆ เพิ่มเติมได้ที่ http://www.doesystem.info/p/mathematics.html