สรุปเนื้อหาคณิตศาสตร์ ม.1 เรื่อง การประยุกต์ 1

รูปเลขาคณิต
จากสิ่งรอบตัวเรา ลองสังเกตดูรอบ ๆ จะเห็นว่าสิ่งต่ง ๆ หรืออุปกรณ์ต่าง ๆ ภายรอบตัวเรานั้นมีรูปทรงทางเลขาคณิต เช่น รูปสามเหลี่ยม รูปสี่เหลี่ยม ทรงสี่เหลี่ยมมุมฉาก ทรงกระบอก ทรงกลม ฯลฯ ซึ่งประกอบด้วยส่วนต่าง ๆ เช่น จุด เส้นตรง เส้นโค้ง ระนาย เป็นต้น

รูปเปิด และรูปปิด (Open and Closed Figures)
รูปเปิด คือ รูปที่มีเส้นขอบของรูปไม่ต่อกัน
รูปปิด คือ รูปที่มีเส้นขอบของรูปติดกัน


จำนวนนับ
จำนวนนับ เรียกอีกอย่างว่าจำนวนเต็มบวก จำนวนนับที่น้อยที่สุดคือ 1 และเพิ่มขึ้นทีละ 1 กลายเป็น 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...

จำนวนเฉพาะ (Prime numbers)
จำนวนเฉพาะ คือ จำนวนธรรมชาติที่มีตัวหารที่เป็นบวกอยู่ 2 ตัว คือ 1 กับตัวมันเอง ดูตัวอย่างจำนวนเฉพาะได้ที่ จำนวนเฉพาะ

เอราทอสเทนีส แห่งไซรีนี (Eratosthenes of Cyrene) นักคณิตศาสตร์ชายกรีก ร่อนหาจำนวนเฉพาะ วิธีการนี้เรียกว่า ตะแกรงของเอราทอสเทนิส คือ วิธีการหาจำนวนเฉพาะระหว่าง 1 - 40

วิธีการของเอราทอสแทสีส
1. 1 ไม่ใช่จำนวนเฉพาะตัดทิ้ง
2. 2 เป็นจำนวนเฉพาะวงไว้ ต่อจากนั้นนับไปครั้งละสองจำนวน แล้วขีดฆ่าทุก ๆ จำนวนที่สอง
3. 3 เป็นจำนวนเฉพาะวงไว้ ต่อจากนั้นนับไปครั้งละสามจำนวน แล้วขีดฆ่าทุก ๆ จำนวนที่สาม
4. 5 เป็นจำนวนเฉพาะวงไว้ ต่อจากนั้นนับไปครั้งละห้าจำนวน แล้วขีดฆ่าทุก ๆ จำนวนที่ห้า
5. เมื่อขีดครบหมดแล้ว จะได้จำนวนเฉพาะที่เหลือ คือ 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31 และ 37 เป็นจำนวนเฉพาะที่อยู่ระหว่าง 1 ถึง 40


ร้อยละในชีวิตประจำวัน
ร้อยละ มีค่าตั้งแต่ 0 - 100 ซึ่งความหมายนั้นก็คือแบ่งส่วนออกเป็นร้อยส่วนแล้วคิดเฉาะส่วนที่กล่าวถึง ตัวอย่างเช่น ร้อยละ 6 หมายถึงแบ่งออกเป็นร้อยส่วน แล้วคิด 6 ส่วน

สรุปเนื้อหาคณิตศาสตร์ ม.1 เรื่อง ความน่าจะเป็น

ความน่าจะเป็น คือการประมาณค่าของเหตุการณ์ที่เป็นไปได้ ต่าง ๆ ความน่าจะเป็นมีค่าตั้งแต่ 0 (โอกาส 0% หรือ จะไม่เกิดขึ้น) ไปจนถึง 1 (โอกาส 100% หรือ จะเกิดขึ้น)

นิยามของความน่าจะเป็น
ถ้าการทดลองตอนหนึ่ง มีเหตุการณ์ที่จะเกิดขึ้นได้ n เหตุการณ์และทุกเหตุการณ์มีโอกาศเกิดขึ้นได้เท่า ๆ กัน ถ้าเหตุการณ์ E ซึ่งเป็น เหตุการณ์ที่เราสนใจสามารถเกิดขึ้นได้ m เหตุการณ์ ดังนั้น ความน่าจะเป็น(หรือโอกาศ) ที่จะเกิดขึ้นคือ

P(E) = = m/n (0 <= m <= n)

เหตุการณ์ที่เกิดขึ้นนอกเหนือจากเหตุการณ์ E เขียนแทนด้วย E' เรียกว่า Complement ของเหตุการณ์ ซึ่งจะเกิดขึ้นได้ n-m เหตุการณ์ ถ้าความน่าจะเป็นของ E' เขียนแทนด้วย P(E')

P(E') = (n-m)/n = 1-(m/n) = 1-P(E)
ดังนั้น P(E) + P(E') = 1
P(E') อาจเรียกว่า ความน่าจะเป็นที่จะไม่เกิดเหตุการณ์ E ซึ่งบางครั้งการหาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ E อาจจะทำได้ยาก เราอาจจะแก้ปัญหาโดยการหาความน่าจะเป็นที่ไม่เกิดเหตุการณ์ E แล้วค่อยลบออกจาก 1 ก็จะได้ความน่าจะเป็นที่จะเกิดเหตุการณ์ E ตามต้องการ

ประวัติความน่าจะเป็น
การพนันนั้นมีทั้งข้อดีและข้อเสีย ถ้าเรารู้จักสังเกต หาคำตอบ การพนันจะช่วยให้เกิดทักษะกระบวนการคิดได้อย่างดี บางครั้งการพนันนั้นก็เกิดการขัดแย้งบ้างในการคำนวณ ซึ่งความขัดแย้งนี้ ทำให้เกิดทฤษฎีทางคณิตศาสตร์ของความน่าจะเป็นขึ้น จากสองนักคณิตศาสตร์ที่ชื่อ Blaise Pascal(แบลซ ปัสกาล) กับ Pierre de Fermat(ปีแยร์ เดอ แฟร์มา)

การทดลองสุ่ม
การทดลองสุ่ม คือการทดลองเพื่อสุมค่าผลลัพธ์ที่ได้ว่าผลลัพธ์จะเป็นอะไรได้บ้าง แต่การสุ่มนั้นไม่สามารถบอกได้ว่าจะได้ผลลัพธ์อะไรที่แน่นอนในบรรดาผลลพธ์ที่สามารถเป็นไปได้เหล่านั้น ตัวอย่างเช่น ทดลองโยนลูกเต๋า 1 ลูก 1 ครั้งแล้วผลลัพธ์ที่ได้อาจจะเป็น 1, 2, 3, 4, 5 หรือ 6 แต่เราไม่สามรถบอกได้ว่าจะออกเลขไหน เรียกการทดลองสุ่มลูกเต๋านี้ว่า การทดลองสุ่ม และเรียกเซตของข้อมูลที่เป็นไปได้ทั้งหมดว่า แซมเปิลสเปซ

แซมเปิลสเปซ
แซมเปิลสเปซ คือ เซตที่มีสมาชิกเป็นผลลัพธ์ที่อาจจะเป็นไปได้ทั้งหมด

แผนภาพต้นไม้
แผนภาพต้นไม้มี 2 แบบ
1. แผนภาพต้นไม้ ที่วางเรียงอย่างเป็นระเบียบ
แผนภาพต้นไม้ที่วางอย่างเป็นระเบียบ คือเมื่อหาผลลัพธ์โดยการใช้แผนภาพต้นไม้แล้ว แผนภาพต้นไม้ที่ได้จะเป็นระเบียบแบบแผน
2. แผนภาพต้นไม้ ที่วางเรียงอย่างไม่เป็นระเบียบ
แผนภาพต้นไม้ที่วางอย่างไม่เป็นระเบียบ คือเมื่อหาผลลัพธ์โดยการใช้แผนภาพต้นไม้แล้ว แผนภาพต้นไม้ที่ได้จะไม่เป็นระเบียบแบบแผน มีการกระจายไปมาไม่คงที่

ดูบทเรียนอื่น ๆ เพิ่มเติมได้ที่ http://www.doesystem.info/p/mathematics.html

สรุปเนื้อหาคณิตศาสตร์ ม.1 เรื่อง สมการ

สมการ หมายถึงประโยคสัญลักษณ์เชื่อมด้วยเครื่องหมาย = แบ่งเป็น 3 ชนิด
1. สมการที่เป็นจริง คือ สมการที่มีจำนวนซึ่งอยู่ด้านซ้ายของเครื่องหมาย = เท่ากับจำนวนที่อยู่ด้านขวา
2. สมการที่ไม่เป็นจริง คือ สมการที่มีจำนวนซึ่งอยู่ด้านซ้ายของเครื่องหมาย = ไม่เท่ากับจำนวนที่อยู่ด้านขวา
3. สมการที่มีตัวไม่ทราบค่า คือสมการที่มีตัวแปรไม่ทราบค่าอยู่ ซึ่งตัวแปรสามารถใช้สัญลักษณ์ใดก็ได้ เช่น n, x, y

ปัญหา
ปัญหา คือ สิ่งที่ต้องการคำตอบ ปัญหาทางคณิตศาสตร์ คือ ปัญหา สถานะการณ์ที่ต้องการคำตอบโดยใช้ความรู้ทางคณิตศาสตร์ในการแก้ปัญหา

ตัวแปร
ตัวแปร คือ สิ่งที่ไม่ทราบค่า สิ่งที่ต้องการหา

ประโยคภาษา
ประโยคภาษา คือ ประโยคที่เกี่ยวกับจำนวน แล้วนำมาเขียนเป็นภาษา

ประโยคสัญลักษณ์
ประโยคสัญลักษณ์ คือ ประโยคที่นำประโยคภาษามาเขียนเป็นสัญลักษณ์

สมการ
เราได้ทราบกันแล้วว่าสมการนั้น แบ่งออกเป็น 3 ชนิด คือ สมการที่เป็นจริง สมการที่เป็นเท็จ และสมการที่มีตัวแปรไม่ทราบว่า
- สมการที่เป็นจริง คือสมการที่มีจำนวนด้านซ้ายกับด้านขวาเท่ากัน ตัวอย่างสมการที่เป็นจริง
- สมการที่เป็นเท็จ คือสมการที่มีจำนวนด้านซ้ายกับด้านขวาไม่เท่ากัน ตัวอย่างสมการที่เป็นเท็จ
- สมการที่มีตัวแปรไม่ทราบค่า คือ สมการที่มีตัวแปรไม่ทราบค่าอยู่ ตัวอย่างสมการที่มีตัวแปรไม่ทราบค่าอยู่

สมบัติของการเท่ากัน
สมบัติการสมมาตร
สมบัติการสมมาตร ให้ a และ b เป็นจำนวนใด ๆ ถ้า a = b แล้ว b = a
สมบัติการถ่ายทอด
สมบัติการถ่ายทอด ให้ a, b และ c เป็นจำนวนใด ๆ ถ้า a = b และ b = c แล้ว a = c
สมบัติการบวก
สมบัติการบวก ให้ a, b และ c เป็นจำนวนใด ๆ ถ้า a = b แล้ว a + c = b + c
สมบัติการคูณ
สมบัติการคูณ ให้ a, b และ c เป็นจำนวนใด ๆ ถ้า a = b แล้ว a x c = b x c
สมบัติการแจกแจง
สมบัติการแจกแจง ให้ a, b และ c เป็นจำนวนใด ๆ แล้ว a(b + c) = ab + ac แล้ว (b + c)a = ba + ca


การแก้สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียวโดยใช้สมบัติของการเท่ากัน
- สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว คือ สมการเชิงเส้นที่มีตัวไม่ทราบค่าหรือตัวแปรเพียงตัวเดียวเท่านั้นในสมการ
- การแก้สมการ คือ การหาค่าตัวแปรหรือตัวตัวไม่ทราบค่าออกมา เพื่อทำให้สมการเป็นจริง
- การแก้สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียวโดยใช้สมบัติของการเท่ากัน ก็คือการหาค่าตัวแปรในสมการเชิงเส้นโดยการใช้สมบัติของการเท่ากันซึ่งเมื่อหาแล้วจะทำให้สมการเป็นจริง

การเขียนสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียวแทนสถานการณ์หรือปัญหา
เราได้รู้จักและแก้โจทย์ปัญหาเกี่ยวกับสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียวกันแล้ว แต่ในบทนี้จะเป็นการเขียนสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียวซึ่งการเขียนนั้นจะแทนสถานการณ์หรือปัญหาที่เกิดขึ้น

ในชีวิตประจำวันนั้นมีปัญหาต่าง ๆ เกิดขึ้นมากมายในชีวิต เช่น ฝนตก รถติด เครียด ชีวิตมีปัญหา มีปัญหาเรื่องงาน เรื่องส่วนตัว เรื่องเงิน ครอบครัว การเรียน ฯลฯ ซึ่งปัญหาบางอย่างถ้าเราศึกษาดี ๆ แล้วปัญหาเหล่านั้นสามารถนำมาเขียนเป็นสมการและสามารถหาคำตอบได้

หลักการในการเขียนสมการเพื่อแทนสถานการณ์หรือปัญหา 
1. วิเคราะห์โจทย์ว่า โจทย์ต้องการให้หาอะไรแล้วเขียนใส่ตัวแปรไว้
2. วิเคราะห์โจทย์ว่า โจทย์กำหนดอะไรมาบ้าง

ดูบทเรียนอื่น ๆ เพิ่มเติมได้ที่ http://www.doesystem.info/p/mathematics.html

สรุปเนื้อหาคณิตศาสตร์ ม.1 เรื่อง ทศนิยม

จำนวนที่อยู่ในรูปทศนิยม เช่น 12,345.678 ประกอบด้วย 2 ส่วน คือ ส่วนที่เป็นจำนวนเต็ม และส่วนที่เป็นทศนิยม และมีจุด(.) คั่นระหว่างสองจำนวนนั้น เลขโดดที่อยู่ในแต่ละหลักของ 12,345.678 มีความหมายและค่าดังนี้

ส่วนที่เป็นจำนวนเต็ม
1 อยู่ในหลักหมื่น มีค่าเป็น 1 x 104
2 อยู่ในหลักพัน มีค่าเป็น 2 x 103
3 อยู่ในหลักร้อย มีค่าเป็น 3 x 102
4 อยู่ในหลักสิบ มีค่าเป็น 4 x 101
5 อยู่ในหลักหน่วย มีค่าเป็น 5 x 100 = 5 x 1

ส่วนที่เป็นทศนิยม
6 เป็นทศนิยมตำแหน่งที่ 1 มีค่าเป็น 6 x 10^-1
7 เป็นทศนิยมตำแหน่งที่ 2 มีค่าเป็น 7 x 10^-2
8 เป็นทศนิยมตำแหน่งที่ 3 มีค่าเป็น 8 x 10^-3

ในชีวิตประจำวัน เราเห็นจำนวนทศนิยมบ่อย ๆ อย่างเช่นซื้อของครึ่งกิโลกรัม ซึ่งการจะเขียนครึ่งกิโลกรัมนั้น เราสามารถเขียนได้เป็น 0.5 กิโลกรัม ซึ่ง 0.5 ก็เป็นเลขทศนิยม เพราะเราไม่สามารถเขียนเป็นจำนวนเต็มได้

การแปลงเศษส่วนกับทศนิยม
เศษส่วนกับทศนิยมนั้นมีความสัมพันธ์กันเราสามารถแปลงเศษส่วนให้เป็นทศนิยมหรือแปลงทศนิยมให้เป็นเศษส่วนได้ ตัวอย่างการแปลง
2/10 แปลงเป็นทศนิยมได้ 0.2
3/100 แปลงเป็นทศนิยมได้ 0.03
23/100 แปลงเป็นทศนิยมได้ 0.23
2/5 แปลงเป็นทศนิยมได้ 0.4
17/5 แปลงเป็นทศนิยมได้ 3.4

การเปรียบเทียบทศนิยม
การเปรียบเทียบทศนิยมที่เป็นบวก
อันดับแรกให้เรานำทศนิยมมาเขียนไว้คนละบรรทัดแล้ว และวิธีการเขียนให้เรียงโดยใช้จุดตรงกัน จากนั้นให้พิจารณาจากตำแหน่งด้านซ้ายไปด้านขวาเรื่อย ๆ ถ้าเจอตัวไหนที่มีค่ามากกว่าแสดงว่า จำนวนนั้นมากกว่า
การเปรียบเทียบทศนิยมที่เป็นลบ
อันดับแรกให้เรานำทศนิยมมาเขียนไว้คนละบรรทัดแล้ว และวิธีการเขียนให้เรียงโดยใช้จุดตรงกัน จากนั้นให้พิจารณาจากตำแหน่งด้านซ้ายไปด้านขวาเรื่อย ๆ ถ้าเจอตัวไหนที่มีค่ามากกว่าแสดงว่า จำนวนนั้นมากกว่า

การบวกทศนิยม
การบวกทศนิยมใช้หลักเกณฑ์เดียวกับการบวกจำนวนเต็มดังต่อไปนี้
- การบวกทศนิยมที่เป็นบวกด้วยทศนิยมที่เป็นบวก ให้นำค่าสัมบูรณ์มาบวกกันแล้วตอบเป็นจำนวนเต็มบวก
- การบวกทศนิยมที่เป็นลบด้วยทศนิยมที่เป็นลบ ให้นำค่าสัมบูรณ์มาบวกกันแล้วตอบเป็นจำนวนเต็มลบ
- การบวกทศนิยมที่เป็นบวกด้วยทศนิยมที่เป็นลบ ให้นำค่าสัมบูรณ์ที่มากกว่าลบด้วยค่าสัมบูรณ์ที่น้อยกว่า แล้วตอบเป็นจำนวนบวกหรือจำนวนลบตามจำนวนที่มีค่าสัมบูรณ์มากกว่า
- การบวกหรือลบทศนิยมด้วยศูนย์ จะได้ผลลัพธ์เท่ากับทศนิยมนั้นเสมอ

การลบทศนิยม
การลบทศนิยมใช้หลักเกณฑ์เดียวกับการลบจำนวนเต็ม นั่นคือเปลี่ยนเครื่องหมายลบเป็นเครื่องหมายบวก และเปลี่ยนจำนวนลบให้เป็นจำนวนตรงกันข้าม

การคูณทศนิยม
การคูณทศนิยมที่เป็นบวกมีวิธีการเช่นเดียวกับการคูณจำนวนเต็มแล้วใส่จุดให้ถูกที่ นั่นคือ ถ้าตัวตั้งเป็นทศนิยมที่มี a ตำแหน่ง ตัวคูณเป็นทศนิยม b ตำแหน่ง ผลคูณจะเป็นทศนิยมที่มี a + b ตำแหน่ง

ข้อสังเกต ในการคูณทศนิยมใด ๆ มีวิธีการเช่นเดียวกับการคูณจำนวนเต็ม และใส่จุดทศนิยมให้ถูกที่นั่นเอง

- การคูณทศนิยมที่เป็นบวกด้วยทศนิยมที่เป็นบวก จะได้คำตอบเป็นทศนิยมที่เป็นบวก และมีค่าสัมบูรณ์เท่ากับผลคูณของค่าสัมบูรณ์ของสองจำนวนนั้น
- การคูณทศนิยมที่เป็นลบด้วยทศนิยมที่เป็นลบ จะได้คำตอบเป็นทศนิยมที่เป็นบวก และมีค่าสัมบูรณ์เท่ากับผลคูณของค่าสัมบูรณ์ของสองจำนวนนั้น
- การคูณทศนิยมที่เป็นบวกด้วยทศนิยมที่เป็นลบ จะได้คำตอบเป็นทศนิยมที่เป็นลบ และมีค่าสัมบูรณ์เท่ากับผลคูณของค่าสัมบูรณ์ของสองจำนวนนั้น
- การคูณทศนิยมที่เป็นลบด้วยทศนิยมที่เป็นบวก จะได้คำตอบเป็นทศนิยมที่เป็นลบ และมีค่าสัมบูรณ์เท่ากับผลคูณของค่าสัมบูรณ์ของสองจำนวนนั้น

ข้อสังเกต การคูณทศนิยมมีสมบัติต่าง ๆ เหมือนกับการคูณจำนวนเต็ม ได้แก่ สมบัติการสลับที่ สมบัติการเปลี่ยนกลุ่ม สมบัติการคูณด้วยศูนย์ สมบัติการคูณด้วยหนึ่ง และสมบัติการแจกแจง

การหารทศนิยม
การหารทศนิยมที่เป็นบวกด้วยจำนวนนับ การหารทศนิยมที่เป็นบวกด้วยจำนวนนับ โดยการตั้งหารนิยมเขียนจุดทศนิยมเฉพาะของตัวตั้งและผลหาร ตำแหน่งของจุดทศนิยมของผลหารจะอยู่ตรงกับตำแหน่งของจุดทศนิยมของตัวตั้งเสมอ ส่วนจุดทศนิยมอื่น ๆ อาจไม่เขียนก็ได้
การหารทศนิยมที่เป็นบวกด้วยทศนิยมที่เป็นบวก การหารทศนิยมที่เป็นบวกด้วยทศนิยมที่เป็นบวก ให้ทำตัวหารให้เป็นจำนวนนับโดยนำ 10, 100, 1000, ... มาคูณทั้งตัวตั้งและตัวหาร

ดูบทเรียนอื่น ๆ เพิ่มเติมได้ที่ http://www.doesystem.info/p/mathematics.html

สรุปเนื้อหาคณิตศาสตร์ ม.1 เรื่อง สมบัติของจำนวนนับ

จำนวนในชีวิตประจำวัน ได้แก่ 1, 2, 3, 4, ... ไปเรื่อย ๆ ไม่มีสิ้นสุด เราเรียกจำนวนเหล่านี้ว่า จำนวนนับ หรือจำนวนธรรมชาติ

ตัวประกอบ

ตัวประกอบของจำนวนนับใด ๆ คือ จำนวนนับที่หารจำนวนนับนั้นได้ลงตัว

7 หาร 49 ลงตัว กล่าวได้ว่า 7 เป็นตัวประกอบของ 49

6 หาร 30 ลงตัว กล่าวได้ว่า 6 เป็นตัวประกอบของ 30

30 หาร 30 ลงตัว กล่าวได้ว่า 30 เป็นตัวประกอบของ 30

ตัวประกอบทั้งหมดของ 14 คือ 1, 2, 7 และ 14

ตัวประกอบทั้งหมดของ 35 คือ 1, 5, 7 และ 35

จะเห็นว่า 1 และ 7 เป็นตัวประกอบของทั้ง 14 และ 35 เราจะเรียก 1 และ 7 นี้ว่า ตัวประกอบร่วม หรือตัวหารร่วมของ 14 และ 35

เรารู้แล้วว่า 1 หารจำนวนนับทุกจำนวนลงตัว ดังนั้น 1 เป็นตัวประกอบของจำนวนนับทุกจำนวน

จำนวนคู่และจำนวนคี่

จำนวนคู่ คือ จำนวนนับที่มี 2 เป็นตัวประกอบ หรือสามารถเขียนในรูป 2n (เมื่อ n เป็นจำนวนนับ) ได้แก่ 2, 4, 6, 8, 10, 12, ...

จำนวนคี่ คือ จำนวนที่ไม่ใช่จำนวนคู่ ซึ่งสามารถเขียนในรูป 2n - 1 (เมื่อ n เป็นจำนวนนับ) หรือ 2n + 1 (เมื่อ n = 0, 1, 2, ...) ได้แก่ 1, 3, 5, 7, 9, 11, ...

- เราอาจจะพิจารณาจำนวนคู่กับจำนวนคี่แบบง่าย ๆ ได้ว่า จำนวนคู่ คือจำนวนที่หาร 2 ได้ลงตัว ส่วนจำนวนคี่คือจำนวนทีหาร 2 ไม่ลงตัว

- ถ้าเราพิจารณาจะเห็นว่า 0 เป็นจำนวนคู่

ถ้าเรานำจำนวนคู่กับจำนวนคี่มาลองคำนวณดู เราจะเห็นข้อสังเกตุบางอย่างคือ

จำนวนคู่ ± จำนวนคู่ = จำนวนคู่
จำนวนคู่ ± จำนวนคี่ = จำนวนคี่
จำนวนคี่ ± จำนวนคี่ = จำนวนคู่

จำนวนคู่ × จำนวนคู่ = จำนวนคู่
จำนวนคี่ × จำนวนคู่ = จำนวนคู่
จำนวนคี่ × จำนวนคี่ = จำนวนคี่

จำนวนเฉพาะ
จำนวนเฉพาะ คือ จำนวนนับที่มากกว่า 1 และมีตัวประกอบเพียงสองตัว คือ 1 กับตัวมันเอง เช่น
2 เป็นจำนวนเฉพาะ เพราะมีตัวประกอบคือ 1 และ 2 ซึ่งก็คือตัวมันเอง

ตัวประกอบเฉพาะ
เราได้รู้แล้วว่าจำนวนหนึ่งมีตัวประกอบได้หลายตัว ตัวประกอบที่เป็นจำนวนเฉพาะ เราจะเรียกมันว่า ตัวประกอบเฉพาะ

การแยกตัวประกอบ

การแยกตัวประกอบของจำนวนนับใด ๆ หมายถึง ประโยคที่แสดงการเขียนจำนวนนับในรูปการคูณของตัวประกอบเฉพาะ ซึ่งมีวิธีการแยกตัวประกอบอย่างน้อย 3 วิธี ดังนี้
1. การแยกตัวประกอบ โดยการพิจารณาตัวประกอบเฉพาะ
2. การแยกตัวประกอบ โดยการตั้งหาร
3. การแยกตัวประกอบ โดยการเขียนแผนภาพ

ตัวหารร่วมมาก (ห.ร.ม.)
ตัวหารร่วมมาก หรือที่เรียกกันว่า ห.ร.ม.(Greatest Common Divisor : G.C.D.) ของจำนวนนับตั้งแต่สองจำนวนขึ้นไป หมายถึง ตัวหารร่วมหรือตัวประกอบร่วมที่มีค่ามากที่สุดของจำนวนนับเหล่านั้น

ในการหา ห.ร.ม. นั้นเราสามารถหาได้อย่างน้อย 4 วิธี คือ
1. โดยพิจารณาตัวหารร่วมหรือตัวประกอบร่วมที่มีค่ามากที่สุด
2. โดยการแยกตัวประกอบ
3. โดยการตั้งหาร
4. โดยใช้ขั้นตอนวิธียูคลิด

ตัวคูณร่วมน้อย (ค.ร.น.)
ตัวคูณร่วมน้อย หรือที่เรียกกันว่า ค.ร.น.(Least Common Multiple : L.C.M.) ของจำนวนนับตั้งแต่สองจำนวนขึ้นไป หมายถึง ตัวตั้งร่วมหรือพหุคูณร่วมที่มีค่าน้อยที่สุดของจำนวนนับเหล่านั้น

ในการหา ค.ร.น. นั้นเราสามารถหาได้อย่างน้อย 3 วิธี คือ
1. โดยการพิจารณาตัวตั้งร่วมหรือพหุคูณร่วมที่มีค่าน้อยที่สุด
2. โดยการแยกตัวประกอบ
3. โดยการตั้งหาร

ดูบทเรียนอื่น ๆ เพิ่มเติมได้ที่ http://www.doesystem.info/p/mathematics.html

สรุปเนื้อหาคณิตศาสตร์ ม.1 เรื่อง การประยุกต์ 2

รูปแบบของจำนวน

พาลินโดรม

จำนวนพาลินโดรม(Palindrome Number) เป็นคำหรือวลีที่สามารถเขียนตัวอักษรเรียงย้อนกลับจากหลังไปหน้าหรือจากขวาไปซ้ายแล้วยังสามารถอ่านออกเสียงได้ เช่น งง กนก ยาย นาน DAD MOM EYE

คำว่า พาลินโดรม เป็นภาษากรีก แปลว่า วิ่งกลับไปที่เดิมอีก (running back again)

พาลินโดรม เป็นจำนวนนับที่เมื่อเขียนเลขโดดเรียงย้อนกลับจากหลังไปหน้าหรือจากขวาไปซ้าย แล้วจำนวนเดิม เช่น 5, 33, 212, 656 และ 989

ดูเรื่องพาลินโดรมเพิ่มเติมได้ที่นี่คลิก


จำนวนฟีโบนัชชี
เลโอนาร์โด ฟีโบนัชชี (Leonardo Fibonacci) นักคณิตศาสตร์ชาวอิตาลี เป็นผู้นำระบบตัวเลขฮินดูอารบิกมาใช้อย่างแพร่หลายในยุโรป ด้วยการเขียนหนังสือเกี่ยวกับการคิดคำนวณชื่อ The Book of Abacus ในหนังสือเล่มนี้มีโจทย์ปัญหาข้อหนึ่งซึ่งมีชื่อเสียงมาก คือ ปัญหาจำนวนกระต่ายในทุ่งหญ้า ปัญหานี้ทำให้ได้รูปแบบของจำนวนชุดหนึ่งซึ่งเรียงเป็นลำดับ ดังนี้ 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ... ลำดับดังกล่าวรู้จักกันกว้างขวางต่อมาว่า ลำดับฟีโบนักชี

นอกจากนี้ยังมีจำนวนในลำดับฟีโบนักชีปรากฏอยู่ในธรรมชาติ เช่น
1. จำนวนแถวของตาสับปะรดเรียงตามเข็มนาฬิกา และทวนเข็มนาฬิการอบผลเป็น 8 และ 13 ตามลำดับ
2. จำนวนแถวของเกสรหรือเมล็ดทานตะวัน เรียงตามเข็มนาฬิกาและตามเข็มนาฬิกาเป็น 21 และ 34 ตามลำดับ

ดูเรื่องจำนวนฟีโบนัชชีเพิ่มเติมได้ที่นี่คลิก


ข่ายงาน
ข่ายงานมีวิวัฒนาการมาตั้งแต่คริสต์ศตวรรษที่สิบแปด โดยเลออนฮาร์ด ออยเลอร์ (Leonhard Euler) นักคณิตศาสตร์ชาวสวิตเซอร์แลนด์

ข่ายงานเป็นแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ที่สร้างขึ้นเพื่อหารูปแบบในการแก้ปัญหาความรู้เกี่ยวกับงานข่ายจะช่วยวางแผนจัดเส้นทางการขนส่งเพื่อให้ประหยัดเงินและเวลามากที่สุด

ดูเรื่องข่ายงานเพิ่มเติมได้ที่นี่คลิก

การประยุกต์ของเศษส่วนและทศนิยม

ในเรื่องของเศษส่วนและทศนิยม เราสามารถนำความรู้เกี่ยวกับการใส่วงเล็บและถอดวงเล็บมาช่วยในการคำนวณได้

การบวกลบเศษส่วนที่เป็นจำนวนคละ โดยวิธีทำจำนวนคละให้เป็นเศษเกินก่อนแล้วจึงหาผลบวกหรือผลลบ วิธีนี้อาจไม่สะดวกเมื่อต้องหาผลบวกหรือผลลบของจำนวนคละที่จำนวนเต็มมีค่าสัมบูรณ์มาก

เราสามารถแปลงเศษส่วนให้เป็นทศนิยมหรือแปลงทศนิยมให้เป็นเศษส่วนได้ เช่น 5/10 = 0.5

การบวกและลบทศนิยม

การบวกและการลบทศนิยม จะต้องตั้งจุดทศนิยมให้ตรงกันก่อนแล้วจึงบวก ลบจำนวนในแต่ละหลัก ถ้าจำนวนตำแหน่งทศนิยมไม่เท่ากันให้เติมศูนย์ต่อท้ายเพื่อให้จำนวนตำแหน่งทศนิยมเท่ากัน

การคูณทศนิยม

การคูณทศนิยมใช้หลักเดียวกับการคูณจำนวนเต็ม แต่ผลลัพธ์จะมีจำนวนตำแหน่งทศนิยมเท่ากับผลบวกของจำนวนตำแหน่งทศนิยมของตัวตั้งและตัวคูณ

การหารทศนิยม

การหารทศนิยมควรทำให้ตัวหารทศนิยมเป็นจำนวนเต็มเสียก่อน จึงดำเนินการหาร

ดูบทเรียนอื่น ๆ เพิ่มเติมได้ที่ http://www.doesystem.info/p/mathematics.html

สรุปเนื้อหาคณิตศาสตร์ ม.1 เรื่อง การประมาณค่า

ค่าประมาณ

ในทางคณิตศาสตร์นั้นจะเรียกการหาค่าซึ่งไม่ใช่ค่าที่แท้จริง แต่มีความละเอียดเพียงพอต่อความต้องการนำไปใช้ว่า การประมาณ และจะเรียกการคำนวณที่ต้องการคำตอบอย่างรวดเร็วใกล้เคียงและเหมาะสมกับการนำไปใช้ว่า การประมาณค่า

ค่าที่ได้จากการประมาณเรียกว่า ค่าประมาณ

ตัวอย่างเช่น

ซื้อข้าวมันไก่ ราคาจานละ 34.50 บาท มีค่าประมาณเป็น 35 บาท

ซื้อข้าว ราคาถุงละ 7.25 บาท มีค่าประมาณเป็น 7 บาท

เพื่อความสะดวกรวดเร็วในการเขียน จึงใช้สัญลักษณ์ ≈ ในการประมาณค่า แทนคำว่า มีค่าประมาณ

ตัวอย่างเช่น

34.50 ≈ 34

7.25 ≈ 7

การปัดเศษ

การปัดเศษเมื่อปริมาณเป็นจำนวนเต็ม

ในการปัดเศษจำนวนเต็มใด ๆ ให้เป็นจำนวนเต็มสิบ จำนวนเต็มร้อย จำนวนเต็มพัน จำนวนเต็มหมื่น ฯลฯ ที่ใกล้เคียงที่สุด ในการพิจารณาปัดเศษจำนวนในหลักถัดไปทางขวามือ ถ้าตำกว่า 5 ตัดทิ้ง ตั้งแต่ 5 ขั้นไปปัดขึ้น

ตัวอย่างเช่น 

ก.ปัดเศษ 54 เป็นจำนวนเต็มสิบ หลักสิบคือ 5 ถัดไปทางขวามือคือหลักหน่วย นั่นคือ 4 น้อยกว่า 5 ตัดทิ้ง ดังนั้น 54 ≈ 50

ข.ปัดเศษ 391 เป็นจำนวนเต็มร้อย หลักร้อยคือ 3 ถัดมาทางขวามือก็คือหลักสิบนั่นคือ 9 มีค่าตั้งแต่ 5 ขึ้นไป ปัดขึ้น ดังนั้น 391 ≈ 400

ค.ปัดเศษ 4,500 เป็นจำนวนเต็มพัน หลักพันคือ 4 ถัดมาทางขวามือก็คือหลักร้อยนั่นคือ 5 มีค่าตั้งแต่ 5 ขึ้นไป ปัดขึ้น ดังนั้น 4,500 ≈ 5,000

การปัดเศษเมื่อปริมาณเป็นทศนิยม

การปัดเศษเมื่อปริมาณเป็นทศนิยม ใช้หลักทำนองเดียวกับการปัดเศษจำนวนเต็ม ดังนี้

1. ปัดเศษให้เป็นจำนวนเต็ม ให้พิจารณาทศนิยมตำแหน่งที่หนึ่ง นั่นก็คือทางขวามือเหมือนกัน ว่าจะปัดขึ้นหรือตัดทิ้ง

2. การปัดเศษให้เป็นทศนิยมหนึ่งตำแหน่ง ให้พิจารณาทศนิยมตำแหน่งที่สอง นั่นคือทางขวามือ ว่าจะปัดขึ้นหรือปัดทิ้ง

3. การปัดเศษให้เป็นทิศนิยมมากกว่าหนึ่งตำแหน่ง ให้พิจารณาทศนิยมตำแหน่งถัดไปหรือทางขวามือ ว่าจะปัดขึ้นหรือปัดทิ้ง

การนำการประมาณค่าไปใช้

ในการประมาณค่า สิ่งสำคัญที่ต้องคำนึงถึงอยู่เสมอ ก็คือ ค่าที่ไดต้องเป็นค่าที่สามารถนำไปใช้อย่างถูกต้อง เหมาะสมกับสถานการณ์ ไม่ทำให้เกิดความคลาดเคลื่อน และตัดสินใจผิดพลาด

- การประมาณค่าบางสถานการณ์สามารถใช้การปัดเศษได้

- ในบางสถานการณ์ไม่สามารถใช้การปัดเศษในการประมาณค่าได้ แต่ใช้ประมาณค่าที่เห็นว่าเหมาะสม สะดวกในการคำนวณและการนำไปใช้งานได้ ดังตัวอย่างต่อไปนี้

- ในบางสถานการณ์ไม่ควรใช้การประมาณค่า แต่ควรใช้ค่าที่แท้จริงจะเหมาะสมกว่า

ดูบทเรียนอื่น ๆ เพิ่มเติมได้ที่ http://www.doesystem.info/p/mathematics.html

สรุปเนื้อหาคณิตศาสตร์ ม.1 เรื่อง การประยุกต์ของจำนวนเต็มและเลขยกกำลัง

การคิดคำนวณ

ในชีวิตประจำวันเราใช้การคิดคำนวณเกี่ยวกับรายรับ รายจ่าย และอื่น ๆ อีกมากมาย ดังนั้นความสามารถในการคิดคำนวณจึงยังมีความจำเป็น เพื่อความสะดวกในการคำนวณเรามักใช้วงเล็บเข้ามาช่วยในการคำนวณ

1. การใส่วงเล็บ

1.1 ถ้าต้องการใส่วงเล็บคลุมกลุ่มจำนวนใดและมีเครื่องหมายบวกอยู่ข้างหน้าวงเล็บ เมื่อใส่วงเล็บแล้วให้คงเครื่องหมายเดิม

1.2 ถ้าต้องการใส่วงเล็บคลุมกลุ่มจำนวนใดและมีเครื่องหมายลบอยู่ข้างหน้าวงเล็บ เมื่อใส่วงเล็บแล้วให้เปลี่ยนเครื่องหมายที่อยู่ในวงเล็บให้เป็นเครื่องหมายตรงข้าม

2. การถอดวงเล็บ

2.1 ถ้าต้องการถอดวงเล็บที่คลุมกลุ่มจำนวนใดและมีเครื่องหมายบวกอยู่หน้าวงเล็บ ให้ถอดวงเล็บและคงเครื่องหมายเดิม

2.2 ถ้าต้องการถอดวงเล็บที่คลุมกลุ่มจำนวนใดและมีเครื่องหมายลบอยู่หน้าวงเล็บ ให้ถอดวงเล็บออกและเปลี่ยนเครื่องหมายที่อยู่ในวงเล็บให้เป็นเครื่องหมายตรงข้าม

3. วิธีที่ช่วยให้คำนวณหาผลบวกของจำนวนเต็มได้อย่างรวดเร็ว

3.1 หาผลบวกที่ทำให้ได้จำนวนเต็มสิบ โดยใช้สมบัติการสลับที่และการเปลี่ยนหมู่

3.2 หาผลบวกจากการทำในรูปกระจาย

โจทย์ปัญหา

ลองมาดูตัวอย่างโจทย์ปัญหาเอาไว้สำหรับประยุกต์ใช้กันบ้าง

ตัวอย่าง

สมชายต้องการทาสีบ้านในราคา 35,000 บาท ใช้เวลา 10 วัน เขาประมาณว่าต้องใช้สีทั้งหมด 27 ลิตร ถ้าสีที่ต้องการมีขายในท้องตลาดอยู่ 3 ขนาด คือ ขนาด 1 ลิตร 2 ลิตร และ 4 ลิตร ราคา 300 บาท 500 บาท และ 960 บาท ตามลำดับ ในการทาสีบ้านหลังนี้ สมชายจ้างช่าง 2 คน และต้องจ่ายค่าแรงคนละ 285 บาทต่อวัน ถ้าหักค่าสีและค่าแรงของช่างแล้วสมชายจะเหลือเงินมากที่สุดกี่บาท

วิธีทำ

ถ้าสมชายต้องการที่จะเหลือเงินมากที่สุดนั่นคือเขาก็ต้องใช้จ่ายในการซื้อสีให้น้อยที่สุด

ซึ่งสีที่ซื้อยิ่งมีขนาดใหญ่ยิ่งประยัดลงเท่านั้น

ดังนั้นสมชายจึงควรซื้อสี ดังนี้

ขนาด 4 ลิตร จำนวน 6 กระป๋อง เป็นเงิน 6 x 960 = 5,760 บาท

ขนาด 2 ลิตร จำนวน 1 กระป๋อง เป็นเงิน 550 บาท

ขนาด 1 ลิตร จำนวน 1 กระป๋อง เป็นเงิน 300 บาท

จะได้สีทั้งหมด 27 ลิตรพอดี คิดเป็นเงินทั้งสิ้น 5,760 + 550 + 300 = 6,610 บาท

ค่าแรงที่สมชายต้องจ่าย 2 คน คนละ 285 บาทต่อวัน หนึ่งวันก็ต้องจ่าย 2 x 285 = 570 บาท

ในเวลา 10 วัน ต้องจ่ายทั้งหมด 570 x 10 = 5,700 บาท

นั่นคือ ในการเหมาครั้งนี้สมชายต้องเสียค่าสีและค่าแรงเป็นเงิน 6,610 + 5,700 = 22,690 บาท

ดูบทเรียนอื่น ๆ เพิ่มเติมได้ที่ http://www.doesystem.info/p/mathematics.html

สรุปเนื้อหาคณิตศาสตร์ ม.1 เรื่อง จำนวนและตัวเลข(Number and Numeral)

จำนวน(Number) หมายถึง ปริมาณที่แสดงถึงความมากหรือน้อย และใช้ตัวเลข(Numeral) เป็นสัญลักษณ์แทนจำนวน

ระบบตัวเลขโรมัน

ระบบตัวเลขโรมัน เป็นระบบตัวเลขที่ใช้ในโรมโบราณ เลขโรมันเป็นระบบเลขที่ไม่มีหลัก นั่นคือ ไม่ว่าเราจะเขียนตัวเลขนั้นไว้หลักไหนก็มีค่าเท่าเดิม ระบบเลขโรมันมีสัญลักษณ์ที่ใช้กันดังนี้

I หรือ i มีค่าเท่ากับ 1
V หรือ v มีค่าเท่ากับ 5
X หรือ x มีค่าเท่ากับ 10
L หรือ l มีค่าเท่ากับ 50
C หรือ c มีค่าเท่ากับ 100
D หรือ d มีค่าเท่ากับ 500
M หรือ m มีค่าเท่ากับ 1,000

หลักการเขียนตัวเลขโรมัน

1. หลักการเพิ่มจำนวน คือ การเขียนตัวเลขเรียงกันตามลำดับจากค่ามากไปหาค่าน้อย ตัวเลขดังกล่าวจะแทนจำนวนที่ได้จากการบวกค่าของตัวเลขแต่ละตัว เช่น

VI แทน 5+1 หรือ 6
LX แทน 50 + 10 หรือ 60
MDX แทน 1,000 + 500 + 10 หรือ 1,510

2. หลัการลดจำนวน คือ การเขียนตัวเลขที่มีค่าน้อยกว่าไปไว้ข้างหน้าตัวเลขที่มากกว่า ตัวเลขดังกล่าวจะแทนจำนวนที่ได้จาการลบของตัวเลขทั้งสอง การเขียนตัวเลขโดยใช้หลักการลด มีหลักเกณฑ์ดังนี้
- ตัวเลขที่ใช้เป็นตัวลบ ได้แก่ I, X และ C เท่านั้น
- ตัวเลขที่อยู่ข้างหน้าของ X ของ V ได้แก่ I เพียงตัวเดียว
- ตัวเลขที่อยู่ข้างหน้าของ L ของ C ได้แก่ X เพียงตัวเดียว
- ตัวเลขที่อยู่ข้างหน้าของ D หรือ M ได้แก่ C เพียงตัวเดียว เช่น IX แทน 10 - 1, XC แทน 100 - 10

3. ตัวเลขแต่ละตัวห้ามเขียนซ้ำติดกันเกิน 3 ตัว

4. กรณีตัวเลขมากให้เขียนเครื่องหมาย - บนตัวเลขโรมัน สัญลักษณ์ใหม่จะแทนตัวเลขที่มีค่า 1,000 เท่าของตัวเลขเดิม

ระบบตัวเลขฐานต่าง ๆ

ระบบเลขฐานสิบ

เลขโดดที่ใช้ในระบบตัวเลขฐานสิบ มี 10 ตัว คือ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ระบบเลขฐานสิบก็คือ ระบบตัวเลขที่เราคุ้นเคยที่ใช้ในชีวิตประจำวันนั่นเอง

การเขียนตัวเลขแทนจำนวนในระบบตัวเลขฐานสิบ เช่น 2,487,705 มีความหมายดังนี้

2,487,705 = (2 x 10⁶) + (4 x 10⁵) + (8 x 10⁴) + (7 x 10³) + (7 x 10²) + (0 x 10¹) + (5 x 10⁰)

ระบบเลขฐานห้า
เลขโดดที่ใช้ในระบบเลขฐานห้า มี 5 ตัว คือ 0, 1, 2, 3, 4 ในระบบเลขฐานห้า จะเขียนห้ากำกับไว้ที่ตัวเลข เช่น 102_ห้า อ่านว่า หนึ่งศูนย์สองฐานห้า

การเปลี่ยนตัวเลขในระบบฐานสิบให้เป็นตัวเลขในระบบฐานห้า
1. นำ 5 ไปหารจำนวนที่ต้องการเปลี่ยน เขียนผลลัพธ์และเศษ
2. นำ 5 ไปหารผลลัพธ์ที่ได้ในขั้นที่ 1 เขียนผลลัพธ์และเศษ
3. ทำขั้นที่ 2 เรื่อยไปจนกว่าผลลัพธ์ที่ได้น้อยกว่า 5
4. คำตอบจะเขียนเรียงกลับจากผลลัพธ์ตัวสุดท้ายและเศษจากการหารทีละขั้น

ระบบเลขฐานสอง
เลขโดดที่ใช้ในระบบตัวเลขฐานสอง มี 2 ตัว คือ 0 และ 1 ในระบบเลขฐานสองจะเขียนสองกำกับไว้ที่ตัวเลข เช่น 1001_สอง อ่านว่า หนึ่งศูนย์ศูนย์หนึ่งฐานสอง

การเปลี่ยนตัวเลขในระบบฐานสิบให้เป็นตัวเลขในระบบฐานสอง
1. นำ 2 ไปหารจำนวนที่ต้องการเปลี่ยน เขียนผลลัพธ์และเศษ
2. นำ 2 ไปหารผลลัพธ์ที่ได้ในขั้นที่ 1 เขียนผลลัพธ์และเศษ
3. ทำขั้นตอนที่ 2 เรื่อยไปจนกว่าผลลัพธ์ที่ได้น้อยกว่า 2
4. คำตอบจะเขียนเรียงย้อนกลับจากผลลัพธ์ตัวสุดท้ายและเศษจากการหารทีละขั้น

ระบบตัวเลขฐานสิบสอง
เลขโดดที่ใช้ระบบตัวเลขฐานสิบสอง มี 12 ตัว คือ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B ในระบบเลขฐานสิบสองจะเขียนสิบสองกำกับไว้ที่ตัวเลข เช่น 107A_{สิบสอง}, BAB5_{สิบสอง}

การเปลี่ยนตัวเลขฐานสิบสองเป็นตัวเลขในระบบฐานสิบ หรือเปลี่ยนจากตัวเลขในระบบฐานสิบเป็นตัวเลขในระบบฐานสิบสอง ก็มีวิธีการเดียวกับตัวเลขในระบบฐานห้าและฐานสอง

การเปลี่ยนฐานในระบบตัวเลข
ในการเปลี่ยนตัวเลขจากฐานที่กำหนดให้ไปเป็นฐานอื่น ให้ใช้ระบบตัวเลขฐานสิบเป็นตัวกลาง นั่นคือให้เปลี่ยนมาเป็นฐานสิบก่อนแล้วค่อยเปลี่ยนไปเป็นฐานอื่น

ดูบทเรียนอื่น ๆ เพิ่มเติมได้ที่ http://www.doesystem.info/p/mathematics.html

สรุปเนื้อหาคณิตศาสตร์ ม.1 เรื่อง พื้นฐานทางเรขาคณิต

จุด เส้นตรง ส่วนของเส้นตรง รังสี และมุม

จุด

จุดเราจะใช้ (.) เป็นสัญลักษณ์แทนจุด และเขียนตัวอักษรกำกับไว้เมื่อต้องการระบุชื่อจุด เช่น .A แทนจุด A

เส้นตรง

เราถือว่าเส้นตรงมีความยาวไม่จำกัด และไม่คำนึงถึงความกว้างของเส้นตรง การเขียนสัญลักษณ์แทนเส้นตรง AB เขียนได้ดังนี้

ข้อสังเกตุ

จะเห็นว่าสัญลักษณ์นั้นมีหัวลูกศรทั้งสองข้าง หัวลูกศรนี้แสดงให้เห็นว่าเส้นตรงมีความยาวไม่จำกัด

สมบัติของจุดและเส้นตรง

1. มีเส้นตรงเพียงเส้นเดียวเท่านั้นที่ลากผ่านจุดสองจุดที่กำหนดให้ นั่นคือ ถ้าเรามีจุดสองจุดแล้วเรา

2. ถ้าลากเส้นตรงสองเส้นตัดกันแล้ว จะมีจุดตัดเพียงจุดเดียวเท่านั้น นั่นคือถ้ามีเส้นตรงลากตัดกันแล้ว จะมีจุดเดียวเท่านั้นที่ตัดกัน

หมายเหตุ

เราใช้จุดและเส้นตรงในการให้นิยามรูปเรขาคณิตพื้นฐาน เช่น ส่วนของเส้นตรง รัง และมุม

ส่วนของเส้นตรง

ส่วนของเส้นตรง คือ ส่วนหนึ่งของเส้นตรงที่มีจุดปลายสองจุด

รังสี

รังสี คือ ส่วนหนึ่งของเส้นตรงซึ่งมีจุดปลายเพียงจุดเดียว

มุม

มุม คือ รังสีของเส้นที่มีจุดปลายเป็นจุดเดียวกัน เรียกรังสีสองเส้นนี้ว่า แขนของมุม และเรียกจุดปลายที่เป็นจุดเดียวกันนี้ว่า จุดยอดมุม

เราอาจจำแนกชนิดของมุมตามขนาดของมุม ได้ดังนี้

มุมแหลม เป็นมุมที่มีขนาดมากกว่า 0 องศา แต่น้อยกว่า 90 องศา

มุมฉาก เป็นมุมที่มีขนาด 90 องศา

มุมป้าน เป็นมุมที่มีขนาดมากกว่า 90 องศา แต่น้อยกว่า 180 องศา

มุมตรง เป็นมุมที่มีขนาด 180 องศา

มุมกลับ เป็นมุมที่มีขนาดมากกว่า 180 องศา แต่น้อยกว่า 360 องศา

สรุปเนื้อหาคณิตศาสตร์ ม.1 เรื่อง เลขยกกำลัง (logarithm)

ถ้า a แทนจำนวนใด ๆ และ n แทนจำนวนเต็มบวก a ยกกำลัง n หรือ a กำลัง n มีความหมายคือ การที่ a คูณกันเป็นจำนวน n ตัว

aⁿ ก็คือ a x a x a x ... x a ทั้งหมด n ตัว

เรียก aⁿ ว่า เลขยกกำลัง ที่มี a เป็นฐาน และ n เป็นเลขชี้กำลัง เช่น 2⁴ อ่านว่า สองยกกำลังสี่ หรือ สองกำลังสี่ หรือ กำลังสี่ของสอง

2⁴ แทนด้วย 2 x 2 x 2 x 2 ซึ่งก็คือ 2 คูณกัน 4 ตัวนั่นเอง
2⁴ มี 2 เป็นฐาน มี 4 เป็นเลขชี้กำลัง

ข้อสังเกตุ

การเขียนเลขยกกำลังแทนจำนวน เช่น (-3)⁴ และ -3⁴ มีความหมายต่างกัน ซึ่งนิยมถือเป็นข้อตกลงว่า
(-3)⁴ = (-3) x (-3) x (-3) x (-3) = 81
-3⁴ = -(3 x 3 x 3 x 3) = -81

จะเห็นว่า (-3)⁴ ≠ -3⁴ แต่ในบางจำนวน เช่น (-2)³ กับ -2³ ถึงแม้ว่ามีความหมายต่างกันแต่มีผลลัพธ์เป็นจำนวนเดียวกัน คือ -8 เพราะว่า
(-2)³ = (-2) x (-2) x (-2) = -8
-2³ = -(2 x 2 x 2) = -8

การดำเนินการของเลขยกกำลัง

สมบัติการคูณของเลขยกกำลัง
เมื่อ a แทนจำนวนใด ๆ m และ n แทนจำนวนเต็มบวก a^m x aⁿ = a^{m + n}

สมบัติการหารของเลขยกกำลัง
เมื่อ a แทนจำนวนใด ๆ a ≠ 0, m และ n แทนจำนวนเต็มบวก a^m ÷ aⁿ = a^{m + n}

การนำไปใช้

ตัวอย่างการนำเลขยกกำลังไปใช้งาน ในที่นี้จะเป็นการยกตัวอย่างการนำไปใช้ในการเขียนรูปสัญกรณ์วิทยาศาสตร์ (Scientific notation) มีรูปทั่วไปเป็น A x 10ⁿ เมื่อ 1 ≤ A < 10 และ n เป็นจำนวนเต็มบวก

การเขียนจำนวนที่มีค่ามาก ๆ ให้อยู่ในรูปสัญกรณ์วิทยาศาสตร์
ตัวอย่าง จงเขียน 6,000,000 ให้อยู่ในรูปสัญกรณ์วิทยาศาสตร์
6,000,000 = 6 x 1,000,000 = 6 x 10⁶

การเขียนจำนวนที่มีค่าน้อย ๆ ให้อยู่ในรูปสัญกรณ์วิทยาศาสตร์
ตัวอย่าง จงเขียน 0.003 ให้อยู่ในรูปสัญกรณ์วิทยาศาสตร์
0.003 = 3 ÷ 1,000 = 3 x 10^-3

ดูบทเรียนอื่น ๆ เพิ่มเติมได้ที่ http://www.doesystem.info/p/mathematics.html

สรุปเนื้อหาคณิตศาสตร์ ม.1 เรื่อง ระบบจำนวนเต็ม(Integer)

สรุปเนื้อหาวิชาคณิตศาสตร์ ระดับชั้น มัธยมศึกษาปีที่ 1 เรื่องระบบจำนวนเต็ม วิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน ภาคเรียนที่ 1

จำนวนเต็ม

จำนวนเต็ม (Integer) ได้แก่ ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...

ข้อสังเกตุ

1. จำนวนเต็มประกอบไปด้วย
  1.1 จำนวนเต็มบวก ได้แก่ 1, 2, 3, ...
  1.2 ศูนย์ ได้แก่ 0
  1.3 จำนวนเต็มลบ ได้แก่ -1, -2, -3, ...
2. จำนวนเต็มบวก ก็คือ จำนวนนับ นั่นเอง
3. 0 เป็นจำนวนเต็ม แต่ 0 ไม่ใช่จำนวนนับ เช่น เราไม่นิยมพูดว่า มีเงินอยู่ 0 บาท แต่เราจะพูดว่าไม่มีเงิน
4. 0 อาจแทนความไม่มี หรือไม่ได้แทนความไม่มีก็ได้ดังนี้
  4.1 แทนความไม่มี เช่น ไม่มีปากกา ไม่มีจาน เป็นต้น
  4.2 ไม่ได้แทนความไม่มี เช่น ถ้าเราพูดว่าอุณหภูมิของน้ำเป็น 0 องศาเซลเซียส เราไม่ได้หมายความว่าน้ำไม่มีอุณหภูมิ แต่หมายความว่าน้ำมีความเย็นระดับหนึ่ง ซึ่งถูกกำหนดว่าเป็น 0 องศาเซลเซียส

เส้นจำนวน

เส้นจำนวน(Number Line) หมายถึง ชื่อของเส้นตรงที่ถูกลากขึ้นมาเส้นหนึ่งที่มีจุดหนึ่งบนเส้นแทนศูนย์(0) และให้จุดทางซ้ายมือของศูนย์(0) ที่ห่างออกไปเป็นช่องยาวหนึ่งหน่วยเท่ากัน ๆ กัน เป็นตัวแทนของจำนวนเต็มลบ (-1, -2, -3, ...) ส่วนทางขวามือของศูนย์(0) ที่ห่างออกไปเป็นช่องยาวหนึ่งหน่วยเท่ากัน ๆ กัน เป็นตัวแทนของจำนวนเต็มบวก(1, 2, 3, ...)  ดังรูป

การเปรียบเทียบเส้นจำนวน

การเปรียบเทียบเส้นจำนวนสองจำนวนที่ไม่เท่ากัน เพื่อจะตัดสินว่า จำนวนใดน้อยกว่าหรือจำนวนใดมากกว่า สามารถพิจารณาโดยใช้เส้นจำนวน ดังนี้

จากเส้นจำนวน พบว่า จำนวนเต็มที่อยู่ทางขวาจะมากกว่าจำนวนเต็มที่อยู่ทางซ้ายเสมอ

เช่น

ลองเปรียบเทียบ 2 กับ 0 ดังนี้

พบว่า 2 มากกว่า 0 ถูกเขียนด้วยสัญลักษณ์ 2 > 0

หรือ 0 น้อยกว่า 2 ถูกเขียนด้วยสัญลักษณ์ 0 < 2

ลองเปรียบเทียบ 0 กับ -3 ดังนี้

พบว่า 0 มากกว่า -3 ถูกเขียนด้วยสัญลักษณ์ 0 > -3

หรือ -3 น้อยกว่า 0 ถูกเขียนด้วยสัญลักษณ์ -3 < 0

การบวกจำนวนเต็ม

ค่าสัมบูรณ์ของจำนวนเต็ม

1. ค่าสัมบูรณ์(Absolute Value) ของจำนวนเต็มใด ๆ หมายถึง ระยะที่จำนวนเต็มนั้นอยู่ห่างจาก 0 บนเส้นจำนวน

2. ถ้ามีจำนวนเต็ม a ใด ๆ เป็นจุดบนเส้นจำนวน แล้วให้เรียกระหว่าง 0 กับจำนวนเต็ม a นั้นว่า ค่าสัมบูรณ์ของจำนวนเต็ม a และค่าสัมบูรณ์ของจำนวนเต็มนั้น ถูกเขียนด้วยสัญลักษณ์ |a|

ข้อสังเกตุ

จะเห็นได้ว่าระยะห่างนั้นจะเป็นไปได้แค่ศูนย์กับบวกเท่านั้น เป็นลบไม่ได้ เช่น

1. ค่าสัมบูรณ์ของ 0 เท่ากับ 0 เนื่องจาก 0 อยู่ห่างจาก 0 เป็นระยะ 0 หน่วย

2. ค่าสัมบูรณ์ของ 3 เท่ากับ 3 เนื่องจาก 3 อยู่ห่างจาก 0 เป็นระยะ 3 หน่วย

3. ค่าสัมบูรณ์ของ -5 เท่ากับ 5 เนื่องจาก -5 อยู่ห่างจาก 0 เป็นระยะ 5 หน่วย

การบวกจำนวนเต็ม

การบวกจำนวนเต็มบวกด้วยจำนวนเต็มบวก
- ให้นำเอาค่าสัมบูรณ์มาบวกกันแล้วตอบเป็นจำนวนเต็มบวก

การบวกจำนวนเต็มลบด้วยจำนวนเต็มลบ
- ให้นำเอาค่าสัมบูรณ์มาบวกกันแล้วตอบเป็นจำนวนเต็มลบ

การบวกระหว่างจำนวนเต็มบวกกับจำนวนเต็มลบที่มีค่าสัมบูรณ์ไม่เท่ากัน
- ให้นำเอาค่าสัมบูรณ์ที่มากกว่าลบด้วยค่าสัมบูรณ์ที่น้อยกว่า แล้วตอบเป็นจำนวนเต็มบวกหรือจำนวนเต็มลบตามจำนวนที่มีค่าสัมบูรณ์มากกว่า

การบวกระหว่างจำนวนเต็มบวกกับจำนวนเต็มลบที่มีค่าสัมบูรณ์เท่ากัน
- ผลบวกที่ได้จะมีค่าเท่ากับ 0 เสมอ

การบวกจำนวนเต็มใด ๆ ด้วยศูนย์หรือการบวกศูนย์ด้วยจำนวนเต็มใด ๆ
- ผลบวกจะเท่ากับจำนวนเต็มนั้นเสมอ

การลบจำนวนเต็ม

จำนวนตรงข้าม

- เมื่อพิจารณาเส้นจำนวน จะพบว่าจำนวนเต็มบวกกับจำนวนเต็มลบ ที่มีค่าสัมบูรณ์เท่ากัน จะอยู่คนละข้างของ 0 และอยู่ห่างจาก 0 เป็นระยะเท่ากัน

- สำหรับ 0 จะมี 0 เป็นจำนวนตรงข้ามของ 0

- ถ้า a เป็นจำนวนเต็มใด ๆ แล้ว จำนวนตรงข้าม ของ a ถูกเขียนด้วยสัญลักษณ์ -a

- ถ้า a เป็นจำนวนเต็มใด ๆ แล้ว จำนวนตรงข้ามของ -a ถูกเขียนด้วยสัญลักษณ์ -(-a) = a

- ถ้า a เป็นจำนวนเต็มใด ๆ แล้ว a + (-a) = (-a) + a = 0

การลบจำนวนเต็ม

- ในการลบจำนวนเต็มนั้น เราจะอาศัยการบวกจำนวนเต็มเข้าช่วย ดังนี้

ตัวตั้ง - ตัวลบ = ตัวตั้ง + จำนวนตรงข้ามของตัวลบ

การคูณจำนวนเต็ม

การคูณจำนวนเต็มบวกด้วยจำนวนเต็มบวก

- ผลลัพธ์เท่ากับผลคูณของค่าสัมบูรณ์ของสองจำนวนนนั้น

การคูณจำนวนเต็มบวกด้วยจำนวนเต็มลบ

- ผลลัพธ์เท่ากับจำนวนตรงข้ามของผลคูณของค่าสัมบูรณ์ของสองจำนวนนั้น

การคูณจำนวนเต็มลบด้วยจำนวนเต็มบวก

- ผลลัพธ์เท่ากับจำนวนตรงข้ามของผลคูณของค่าสัมบูรณ์ของสองจำนวนนั้น

การคูณจำนวนเต็มลบด้วยจำนวนเต็มลบ

- ผลลัพธ์เท่ากับผลคูณของค่าสัมบูรณ์ของสองจำนวนนนั้น

การคูณจำนวนเต็มใด ๆ ด้วยหนึ่งหรือการคูณหนึ่งด้วยจำนวนเต็มใด ๆ

- ผลลัพธ์จะได้เท่ากับจำนวนเต็มนั้นเสมอ

การคูณจำนวนเต็มใด ๆ ด้วยศูนย์หรือารคูณศูนย์ด้วยจำนวนเต็มใด ๆ

- ผลลัพธ์จะได้เท่ากับศูนย์เสมอ

การหารจำนวนเต็ม

การหารจำนวนเต็ม เมื่อตัวตั้งและตัวหารเป็นจำนวนเต็มบวกทั้งคู่หรือจำนวนเต็มลบทั้งคู่

- จะได้คำตอบเท่ากับค่าสัมบูรณ์ของตัวตั้งหารด้วยค่าสัมบูรณ์ของตัวหาร

หารหารจำนวนเต็ม เมื่อตัวตั้งหรือตัวหารตัวใดตัวหนึ่งเป็นลบ โดยที่อีกตัวหนึ่งเป็นบวก

- จะได้คำตอบเท่ากับจำนวนตรงข้ามของค่าสัมบูรณ์ของตัวตั้งหารด้วยค่าสัมบูรณ์ของตัวหาร

จำนวนคู่และจำนวนคี่

จำนวนคู่ หมายถึง จำนวนเต็มที่หารด้วย 2 ลงตัว

จำนวนคี่ หมายถึง จำนวนเต็มที่หารด้วย 2 ไม่ลงตัว

สมบัติของจำนวนเต็ม

สมบัติการสลับที่การบวก

a + b = b + a

สมบัติการสลับที่การคูณ

a x b = b x a

สมบัติการเปลี่ยนกลุ่มการบวก

(a + b) + c = a + (b + c)

สมบัติการเปลี่ยนกลุ่มการคูณ

(a x b) x c = a x (b x c)

สมบัติการแจกแจง

a x (b + c) = (a x b) + (a x c)