จำนวนฟีโบนัชชี (Fibonacci number)

เลโอนาร์โด ฟีโบนัชชี (Leonardo Fibonacci) นักคณิตศาสตร์ชาวอิตาลี เป็นผู้นำระบบตัวเลขฮินดูอารบิกมาใช้อย่างแพร่หลายในยุโรป ด้วยการเขียนหนังสือเกี่ยวกับการคิดคำนวณชื่อ The Book of Abacus ในหนังสือเล่มนี้มีโจทย์ปัญหาข้อหนึ่งซึ่งมีชื่อเสียงมาก คือ ปัญหาจำนวนกระต่ายในทุ่งหญ้า ปัญหานี้ทำให้ได้รูปแบบของจำนวนชุดหนึ่งซึ่งเรียงเป็นลำดับ ดังนี้ 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ... ลำดับดังกล่าวรู้จักกันกว้างขวางต่อมาว่า ลำดับฟีโบนักชี

จำนวนฟีโบนัชชี หรือ เลขฟีโบนัชชี (Fibonacci number) คือลำดับของจำนวนเต็ม โดยมีนิยามของความสัมพันธ์ว่า จำนวนถัดไปเท่ากับผลบวกของจำนวนสองจำนวนก่อนหน้า และสองจำนวนแรกก็คือ 0 และ 1 ตามลำดับ และลำดับของจำนวนดังกล่าวก็จะเรียกว่า ลำดับฟีโบนัชชี

ตัวอย่างลำดับเลขฟีโบนัชชี
0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610 987 1597 2584 4181 6765 10946 17711 ...

ถ้าเรานำเลขฟีโบนัชชีมาเขียนเป็นอนุกรมจะได้ดังนี้
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, x, y, x+y, …
(ตัวเลขตำแหน่งที่ n เท่ากับตัวเลขตำแหน่งที่ n-1 บวกกับตัวเลขตำแหน่งที่ n-2 หรือ X_n = X_n-1 + X_n-2)

นอกจากนี้ยังมีจำนวนในลำดับฟีโบนักชีปรากฏอยู่ในธรรมชาติ เช่น
1. จำนวนแถวของตาสับปะรดเรียงตามเข็มนาฬิกา และทวนเข็มนาฬิการอบผลเป็น 8 และ 13 ตามลำดับ
2. จำนวนแถวของเกสรหรือเมล็ดทานตะวัน เรียงตามเข็มนาฬิกาและตามเข็มนาฬิกาเป็น 21 และ 34 ตามลำดับ

ทว่า สิ่งที่ทำให้เราต้องพิศวงยิ่งไปกว่านั้นคือ ลำดับฟีโบนักชีตั้งแต่ตัวเลขค่าที่สี่เป็นต้นไป มีอัตราส่วนจากการหารตัวเลขลำดับหลังด้วยตัวเลขลำดับหน้า เช่น 5 หารด้วย 3, 8 หารด้วย 5, 13 หารด้วย8, 21 หารด้วย 13 ได้ผลลัพธ์ที่ใกล้เคียงเลข 1.618 และเมื่อตัวเลขเพิ่มขึ้น ผลลัพธ์ที่ได้จะยิ่งใกล้เคียง 1.618 เป็นลำดับ ปราชญ์ในอดีตจึงเรียกชื่อตัวเลข 1.618 นี้เป็นภาษากรีกโบราณว่า ฟี (Phi) หรือ อัตราส่วนทองคำ (Golden ratio) และถือเป็นสัดส่วนที่ธรรมชาติได้บรรจงสร้างไว้อย่างมหัศจรรย์

จำนวนพาลินโดรม(Palindrome Numbers)

จำนวนพาลินโดรม(Palindrome Number) เป็นคำหรือวลีที่สามารถเขียนตัวอักษรเรียงย้อนกลับจากหลังไปหน้าหรือจากขวาไปซ้ายแล้วยังสามารถอ่านออกเสียงได้ เช่น งง กนก ยาย นาน DAD MOM EYE

คำว่า พาลินโดรม เป็นภาษากรีก แปลว่า วิ่งกลับไปที่เดิมอีก (running back again)

พาลินโดรม เป็นจำนวนนับที่เมื่อเขียนเลขโดดเรียงย้อนกลับจากหลังไปหน้าหรือจากขวาไปซ้าย แล้วจำนวนเดิม เช่น 5, 33, 212, 656 และ 989

พาลินโดรม ที่มีหนึ่งหลัก ได้แก่  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 และ 9

พาลินโดรม ที่มีสองหลัก ได้แก่ 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88 และ 99

การสร้างพาลินโดรม

เมื่อนำจำนวนนับที่มีสองหลักมาบวกกับจำนวนที่ได้จากการเขียนเลขโดดเรียงย้อนกลับจากหลังไปหน้าของจำนวนเดิม ถ้าผลลัพธ์ยังไม่เป็นพาลินโดรม ให้นำผลลัพธ์นั้นไปหผลบวกกับจำนวนที่ได้จากการเขียนเลขโดดเรียงย้อนกลับจากหลังไปหน้าของผลลัพธ์นั้นอีก ทำเช่นนี้ไปเรื่อย ๆ จนกว่าจะได้พาลินโดรม

สรุป พาลินโดรม คือจำนวนที่สามารถเขียนเรียงย้อนกลับไปกลับมาจากหน้าไปหลังได้ หรือจากหลังไปหน้าได้ ผลลัพธ์ที่ได้ยังเป็นจำนวนเดิมนั่นเอง

จํานวนพาลินโดรม 1 หลัก มีทั้งหมด 9 ตัว
1 2 3 4 5 6 7 8 9

จํานวนพาลินโดรม 2 หลัก มีทั้งหมด 9 ตัว
11 22 33 44 55 66 77 88 99

จํานวนพาลินโดรม 3 หลัก มีทั้งหมด 90 ตัว
101 202 303 404 505 606 707 808 909 111 212 313 414 515 616 717 818 919 121 222 323 424 525 626 727 828 929 131 232 333 434 535 636 737 838 939 141 242 343 444 545 646 747 848 949 151 252 353 454 555 656 757 858 959 161 262 363 464 565 666 767 868 969 171 272 373 474 575 676 777 878 979 181 282 383 484 585 686 787 888 989 191 292 393 494 595 696 797 898 999

จํานวนพาลินโดรม 4 หลัก มีทั้งหมด 90 ตัว
1001 2002 3003 4004 5005 6006 7007 8008 9009 1111 2112 3113 4114 5115 6116 7117 8118 9119 1221 2222 3223 4224 5225 6226 7227 8228 9229 1331 2332 3333 4334 5335 6336 7337 8338 9339 1441 2442 3443 4444 5445 6446 7447 8448 9449 1551 2552 3553 4554 5555 6556 7557 8558 9559 1661 2662 3663 4664 5665 6666 7667 8668 9669 1771 2772 3773 4774 5775 6776 7777 8778 9779 1881 2882 3883 4884 5885 6886 7887 8888 9889 1991 2992 3993 4994 5995 6996 7997 8998 9999

สรุปเนื้อหาคณิตศาสตร์ ม.1 เรื่อง การประมาณค่า

ค่าประมาณ

ในทางคณิตศาสตร์นั้นจะเรียกการหาค่าซึ่งไม่ใช่ค่าที่แท้จริง แต่มีความละเอียดเพียงพอต่อความต้องการนำไปใช้ว่า การประมาณ และจะเรียกการคำนวณที่ต้องการคำตอบอย่างรวดเร็วใกล้เคียงและเหมาะสมกับการนำไปใช้ว่า การประมาณค่า

ค่าที่ได้จากการประมาณเรียกว่า ค่าประมาณ

ตัวอย่างเช่น

ซื้อข้าวมันไก่ ราคาจานละ 34.50 บาท มีค่าประมาณเป็น 35 บาท

ซื้อข้าว ราคาถุงละ 7.25 บาท มีค่าประมาณเป็น 7 บาท

เพื่อความสะดวกรวดเร็วในการเขียน จึงใช้สัญลักษณ์ ≈ ในการประมาณค่า แทนคำว่า มีค่าประมาณ

ตัวอย่างเช่น

34.50 ≈ 34

7.25 ≈ 7

การปัดเศษ

การปัดเศษเมื่อปริมาณเป็นจำนวนเต็ม

ในการปัดเศษจำนวนเต็มใด ๆ ให้เป็นจำนวนเต็มสิบ จำนวนเต็มร้อย จำนวนเต็มพัน จำนวนเต็มหมื่น ฯลฯ ที่ใกล้เคียงที่สุด ในการพิจารณาปัดเศษจำนวนในหลักถัดไปทางขวามือ ถ้าตำกว่า 5 ตัดทิ้ง ตั้งแต่ 5 ขั้นไปปัดขึ้น

ตัวอย่างเช่น 

ก.ปัดเศษ 54 เป็นจำนวนเต็มสิบ หลักสิบคือ 5 ถัดไปทางขวามือคือหลักหน่วย นั่นคือ 4 น้อยกว่า 5 ตัดทิ้ง ดังนั้น 54 ≈ 50

ข.ปัดเศษ 391 เป็นจำนวนเต็มร้อย หลักร้อยคือ 3 ถัดมาทางขวามือก็คือหลักสิบนั่นคือ 9 มีค่าตั้งแต่ 5 ขึ้นไป ปัดขึ้น ดังนั้น 391 ≈ 400

ค.ปัดเศษ 4,500 เป็นจำนวนเต็มพัน หลักพันคือ 4 ถัดมาทางขวามือก็คือหลักร้อยนั่นคือ 5 มีค่าตั้งแต่ 5 ขึ้นไป ปัดขึ้น ดังนั้น 4,500 ≈ 5,000

การปัดเศษเมื่อปริมาณเป็นทศนิยม

การปัดเศษเมื่อปริมาณเป็นทศนิยม ใช้หลักทำนองเดียวกับการปัดเศษจำนวนเต็ม ดังนี้

1. ปัดเศษให้เป็นจำนวนเต็ม ให้พิจารณาทศนิยมตำแหน่งที่หนึ่ง นั่นก็คือทางขวามือเหมือนกัน ว่าจะปัดขึ้นหรือตัดทิ้ง

2. การปัดเศษให้เป็นทศนิยมหนึ่งตำแหน่ง ให้พิจารณาทศนิยมตำแหน่งที่สอง นั่นคือทางขวามือ ว่าจะปัดขึ้นหรือปัดทิ้ง

3. การปัดเศษให้เป็นทิศนิยมมากกว่าหนึ่งตำแหน่ง ให้พิจารณาทศนิยมตำแหน่งถัดไปหรือทางขวามือ ว่าจะปัดขึ้นหรือปัดทิ้ง

การนำการประมาณค่าไปใช้

ในการประมาณค่า สิ่งสำคัญที่ต้องคำนึงถึงอยู่เสมอ ก็คือ ค่าที่ไดต้องเป็นค่าที่สามารถนำไปใช้อย่างถูกต้อง เหมาะสมกับสถานการณ์ ไม่ทำให้เกิดความคลาดเคลื่อน และตัดสินใจผิดพลาด

- การประมาณค่าบางสถานการณ์สามารถใช้การปัดเศษได้

- ในบางสถานการณ์ไม่สามารถใช้การปัดเศษในการประมาณค่าได้ แต่ใช้ประมาณค่าที่เห็นว่าเหมาะสม สะดวกในการคำนวณและการนำไปใช้งานได้ ดังตัวอย่างต่อไปนี้

- ในบางสถานการณ์ไม่ควรใช้การประมาณค่า แต่ควรใช้ค่าที่แท้จริงจะเหมาะสมกว่า

ดูบทเรียนอื่น ๆ เพิ่มเติมได้ที่ http://www.doesystem.info/p/mathematics.html

สรุปเนื้อหาคณิตศาสตร์ ม.1 เรื่อง การประยุกต์ของจำนวนเต็มและเลขยกกำลัง

การคิดคำนวณ

ในชีวิตประจำวันเราใช้การคิดคำนวณเกี่ยวกับรายรับ รายจ่าย และอื่น ๆ อีกมากมาย ดังนั้นความสามารถในการคิดคำนวณจึงยังมีความจำเป็น เพื่อความสะดวกในการคำนวณเรามักใช้วงเล็บเข้ามาช่วยในการคำนวณ

1. การใส่วงเล็บ

1.1 ถ้าต้องการใส่วงเล็บคลุมกลุ่มจำนวนใดและมีเครื่องหมายบวกอยู่ข้างหน้าวงเล็บ เมื่อใส่วงเล็บแล้วให้คงเครื่องหมายเดิม

1.2 ถ้าต้องการใส่วงเล็บคลุมกลุ่มจำนวนใดและมีเครื่องหมายลบอยู่ข้างหน้าวงเล็บ เมื่อใส่วงเล็บแล้วให้เปลี่ยนเครื่องหมายที่อยู่ในวงเล็บให้เป็นเครื่องหมายตรงข้าม

2. การถอดวงเล็บ

2.1 ถ้าต้องการถอดวงเล็บที่คลุมกลุ่มจำนวนใดและมีเครื่องหมายบวกอยู่หน้าวงเล็บ ให้ถอดวงเล็บและคงเครื่องหมายเดิม

2.2 ถ้าต้องการถอดวงเล็บที่คลุมกลุ่มจำนวนใดและมีเครื่องหมายลบอยู่หน้าวงเล็บ ให้ถอดวงเล็บออกและเปลี่ยนเครื่องหมายที่อยู่ในวงเล็บให้เป็นเครื่องหมายตรงข้าม

3. วิธีที่ช่วยให้คำนวณหาผลบวกของจำนวนเต็มได้อย่างรวดเร็ว

3.1 หาผลบวกที่ทำให้ได้จำนวนเต็มสิบ โดยใช้สมบัติการสลับที่และการเปลี่ยนหมู่

3.2 หาผลบวกจากการทำในรูปกระจาย

โจทย์ปัญหา

ลองมาดูตัวอย่างโจทย์ปัญหาเอาไว้สำหรับประยุกต์ใช้กันบ้าง

ตัวอย่าง

สมชายต้องการทาสีบ้านในราคา 35,000 บาท ใช้เวลา 10 วัน เขาประมาณว่าต้องใช้สีทั้งหมด 27 ลิตร ถ้าสีที่ต้องการมีขายในท้องตลาดอยู่ 3 ขนาด คือ ขนาด 1 ลิตร 2 ลิตร และ 4 ลิตร ราคา 300 บาท 500 บาท และ 960 บาท ตามลำดับ ในการทาสีบ้านหลังนี้ สมชายจ้างช่าง 2 คน และต้องจ่ายค่าแรงคนละ 285 บาทต่อวัน ถ้าหักค่าสีและค่าแรงของช่างแล้วสมชายจะเหลือเงินมากที่สุดกี่บาท

วิธีทำ

ถ้าสมชายต้องการที่จะเหลือเงินมากที่สุดนั่นคือเขาก็ต้องใช้จ่ายในการซื้อสีให้น้อยที่สุด

ซึ่งสีที่ซื้อยิ่งมีขนาดใหญ่ยิ่งประยัดลงเท่านั้น

ดังนั้นสมชายจึงควรซื้อสี ดังนี้

ขนาด 4 ลิตร จำนวน 6 กระป๋อง เป็นเงิน 6 x 960 = 5,760 บาท

ขนาด 2 ลิตร จำนวน 1 กระป๋อง เป็นเงิน 550 บาท

ขนาด 1 ลิตร จำนวน 1 กระป๋อง เป็นเงิน 300 บาท

จะได้สีทั้งหมด 27 ลิตรพอดี คิดเป็นเงินทั้งสิ้น 5,760 + 550 + 300 = 6,610 บาท

ค่าแรงที่สมชายต้องจ่าย 2 คน คนละ 285 บาทต่อวัน หนึ่งวันก็ต้องจ่าย 2 x 285 = 570 บาท

ในเวลา 10 วัน ต้องจ่ายทั้งหมด 570 x 10 = 5,700 บาท

นั่นคือ ในการเหมาครั้งนี้สมชายต้องเสียค่าสีและค่าแรงเป็นเงิน 6,610 + 5,700 = 22,690 บาท

ดูบทเรียนอื่น ๆ เพิ่มเติมได้ที่ http://www.doesystem.info/p/mathematics.html

สรุปเนื้อหาคณิตศาสตร์ ม.1 เรื่อง จำนวนและตัวเลข(Number and Numeral)

จำนวน(Number) หมายถึง ปริมาณที่แสดงถึงความมากหรือน้อย และใช้ตัวเลข(Numeral) เป็นสัญลักษณ์แทนจำนวน

ระบบตัวเลขโรมัน

ระบบตัวเลขโรมัน เป็นระบบตัวเลขที่ใช้ในโรมโบราณ เลขโรมันเป็นระบบเลขที่ไม่มีหลัก นั่นคือ ไม่ว่าเราจะเขียนตัวเลขนั้นไว้หลักไหนก็มีค่าเท่าเดิม ระบบเลขโรมันมีสัญลักษณ์ที่ใช้กันดังนี้

I หรือ i มีค่าเท่ากับ 1
V หรือ v มีค่าเท่ากับ 5
X หรือ x มีค่าเท่ากับ 10
L หรือ l มีค่าเท่ากับ 50
C หรือ c มีค่าเท่ากับ 100
D หรือ d มีค่าเท่ากับ 500
M หรือ m มีค่าเท่ากับ 1,000

หลักการเขียนตัวเลขโรมัน

1. หลักการเพิ่มจำนวน คือ การเขียนตัวเลขเรียงกันตามลำดับจากค่ามากไปหาค่าน้อย ตัวเลขดังกล่าวจะแทนจำนวนที่ได้จากการบวกค่าของตัวเลขแต่ละตัว เช่น

VI แทน 5+1 หรือ 6
LX แทน 50 + 10 หรือ 60
MDX แทน 1,000 + 500 + 10 หรือ 1,510

2. หลัการลดจำนวน คือ การเขียนตัวเลขที่มีค่าน้อยกว่าไปไว้ข้างหน้าตัวเลขที่มากกว่า ตัวเลขดังกล่าวจะแทนจำนวนที่ได้จาการลบของตัวเลขทั้งสอง การเขียนตัวเลขโดยใช้หลักการลด มีหลักเกณฑ์ดังนี้
- ตัวเลขที่ใช้เป็นตัวลบ ได้แก่ I, X และ C เท่านั้น
- ตัวเลขที่อยู่ข้างหน้าของ X ของ V ได้แก่ I เพียงตัวเดียว
- ตัวเลขที่อยู่ข้างหน้าของ L ของ C ได้แก่ X เพียงตัวเดียว
- ตัวเลขที่อยู่ข้างหน้าของ D หรือ M ได้แก่ C เพียงตัวเดียว เช่น IX แทน 10 - 1, XC แทน 100 - 10

3. ตัวเลขแต่ละตัวห้ามเขียนซ้ำติดกันเกิน 3 ตัว

4. กรณีตัวเลขมากให้เขียนเครื่องหมาย - บนตัวเลขโรมัน สัญลักษณ์ใหม่จะแทนตัวเลขที่มีค่า 1,000 เท่าของตัวเลขเดิม

ระบบตัวเลขฐานต่าง ๆ

ระบบเลขฐานสิบ

เลขโดดที่ใช้ในระบบตัวเลขฐานสิบ มี 10 ตัว คือ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ระบบเลขฐานสิบก็คือ ระบบตัวเลขที่เราคุ้นเคยที่ใช้ในชีวิตประจำวันนั่นเอง

การเขียนตัวเลขแทนจำนวนในระบบตัวเลขฐานสิบ เช่น 2,487,705 มีความหมายดังนี้

2,487,705 = (2 x 10⁶) + (4 x 10⁵) + (8 x 10⁴) + (7 x 10³) + (7 x 10²) + (0 x 10¹) + (5 x 10⁰)

ระบบเลขฐานห้า
เลขโดดที่ใช้ในระบบเลขฐานห้า มี 5 ตัว คือ 0, 1, 2, 3, 4 ในระบบเลขฐานห้า จะเขียนห้ากำกับไว้ที่ตัวเลข เช่น 102_ห้า อ่านว่า หนึ่งศูนย์สองฐานห้า

การเปลี่ยนตัวเลขในระบบฐานสิบให้เป็นตัวเลขในระบบฐานห้า
1. นำ 5 ไปหารจำนวนที่ต้องการเปลี่ยน เขียนผลลัพธ์และเศษ
2. นำ 5 ไปหารผลลัพธ์ที่ได้ในขั้นที่ 1 เขียนผลลัพธ์และเศษ
3. ทำขั้นที่ 2 เรื่อยไปจนกว่าผลลัพธ์ที่ได้น้อยกว่า 5
4. คำตอบจะเขียนเรียงกลับจากผลลัพธ์ตัวสุดท้ายและเศษจากการหารทีละขั้น

ระบบเลขฐานสอง
เลขโดดที่ใช้ในระบบตัวเลขฐานสอง มี 2 ตัว คือ 0 และ 1 ในระบบเลขฐานสองจะเขียนสองกำกับไว้ที่ตัวเลข เช่น 1001_สอง อ่านว่า หนึ่งศูนย์ศูนย์หนึ่งฐานสอง

การเปลี่ยนตัวเลขในระบบฐานสิบให้เป็นตัวเลขในระบบฐานสอง
1. นำ 2 ไปหารจำนวนที่ต้องการเปลี่ยน เขียนผลลัพธ์และเศษ
2. นำ 2 ไปหารผลลัพธ์ที่ได้ในขั้นที่ 1 เขียนผลลัพธ์และเศษ
3. ทำขั้นตอนที่ 2 เรื่อยไปจนกว่าผลลัพธ์ที่ได้น้อยกว่า 2
4. คำตอบจะเขียนเรียงย้อนกลับจากผลลัพธ์ตัวสุดท้ายและเศษจากการหารทีละขั้น

ระบบตัวเลขฐานสิบสอง
เลขโดดที่ใช้ระบบตัวเลขฐานสิบสอง มี 12 ตัว คือ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B ในระบบเลขฐานสิบสองจะเขียนสิบสองกำกับไว้ที่ตัวเลข เช่น 107A_{สิบสอง}, BAB5_{สิบสอง}

การเปลี่ยนตัวเลขฐานสิบสองเป็นตัวเลขในระบบฐานสิบ หรือเปลี่ยนจากตัวเลขในระบบฐานสิบเป็นตัวเลขในระบบฐานสิบสอง ก็มีวิธีการเดียวกับตัวเลขในระบบฐานห้าและฐานสอง

การเปลี่ยนฐานในระบบตัวเลข
ในการเปลี่ยนตัวเลขจากฐานที่กำหนดให้ไปเป็นฐานอื่น ให้ใช้ระบบตัวเลขฐานสิบเป็นตัวกลาง นั่นคือให้เปลี่ยนมาเป็นฐานสิบก่อนแล้วค่อยเปลี่ยนไปเป็นฐานอื่น

ดูบทเรียนอื่น ๆ เพิ่มเติมได้ที่ http://www.doesystem.info/p/mathematics.html

สรุปเนื้อหาคณิตศาสตร์ ม.1 เรื่อง พื้นฐานทางเรขาคณิต

จุด เส้นตรง ส่วนของเส้นตรง รังสี และมุม

จุด

จุดเราจะใช้ (.) เป็นสัญลักษณ์แทนจุด และเขียนตัวอักษรกำกับไว้เมื่อต้องการระบุชื่อจุด เช่น .A แทนจุด A

เส้นตรง

เราถือว่าเส้นตรงมีความยาวไม่จำกัด และไม่คำนึงถึงความกว้างของเส้นตรง การเขียนสัญลักษณ์แทนเส้นตรง AB เขียนได้ดังนี้

ข้อสังเกตุ

จะเห็นว่าสัญลักษณ์นั้นมีหัวลูกศรทั้งสองข้าง หัวลูกศรนี้แสดงให้เห็นว่าเส้นตรงมีความยาวไม่จำกัด

สมบัติของจุดและเส้นตรง

1. มีเส้นตรงเพียงเส้นเดียวเท่านั้นที่ลากผ่านจุดสองจุดที่กำหนดให้ นั่นคือ ถ้าเรามีจุดสองจุดแล้วเรา

2. ถ้าลากเส้นตรงสองเส้นตัดกันแล้ว จะมีจุดตัดเพียงจุดเดียวเท่านั้น นั่นคือถ้ามีเส้นตรงลากตัดกันแล้ว จะมีจุดเดียวเท่านั้นที่ตัดกัน

หมายเหตุ

เราใช้จุดและเส้นตรงในการให้นิยามรูปเรขาคณิตพื้นฐาน เช่น ส่วนของเส้นตรง รัง และมุม

ส่วนของเส้นตรง

ส่วนของเส้นตรง คือ ส่วนหนึ่งของเส้นตรงที่มีจุดปลายสองจุด

รังสี

รังสี คือ ส่วนหนึ่งของเส้นตรงซึ่งมีจุดปลายเพียงจุดเดียว

มุม

มุม คือ รังสีของเส้นที่มีจุดปลายเป็นจุดเดียวกัน เรียกรังสีสองเส้นนี้ว่า แขนของมุม และเรียกจุดปลายที่เป็นจุดเดียวกันนี้ว่า จุดยอดมุม

เราอาจจำแนกชนิดของมุมตามขนาดของมุม ได้ดังนี้

มุมแหลม เป็นมุมที่มีขนาดมากกว่า 0 องศา แต่น้อยกว่า 90 องศา

มุมฉาก เป็นมุมที่มีขนาด 90 องศา

มุมป้าน เป็นมุมที่มีขนาดมากกว่า 90 องศา แต่น้อยกว่า 180 องศา

มุมตรง เป็นมุมที่มีขนาด 180 องศา

มุมกลับ เป็นมุมที่มีขนาดมากกว่า 180 องศา แต่น้อยกว่า 360 องศา

สรุปเนื้อหาคณิตศาสตร์ ม.1 เรื่อง เลขยกกำลัง (logarithm)

ถ้า a แทนจำนวนใด ๆ และ n แทนจำนวนเต็มบวก a ยกกำลัง n หรือ a กำลัง n มีความหมายคือ การที่ a คูณกันเป็นจำนวน n ตัว

aⁿ ก็คือ a x a x a x ... x a ทั้งหมด n ตัว

เรียก aⁿ ว่า เลขยกกำลัง ที่มี a เป็นฐาน และ n เป็นเลขชี้กำลัง เช่น 2⁴ อ่านว่า สองยกกำลังสี่ หรือ สองกำลังสี่ หรือ กำลังสี่ของสอง

2⁴ แทนด้วย 2 x 2 x 2 x 2 ซึ่งก็คือ 2 คูณกัน 4 ตัวนั่นเอง
2⁴ มี 2 เป็นฐาน มี 4 เป็นเลขชี้กำลัง

ข้อสังเกตุ

การเขียนเลขยกกำลังแทนจำนวน เช่น (-3)⁴ และ -3⁴ มีความหมายต่างกัน ซึ่งนิยมถือเป็นข้อตกลงว่า
(-3)⁴ = (-3) x (-3) x (-3) x (-3) = 81
-3⁴ = -(3 x 3 x 3 x 3) = -81

จะเห็นว่า (-3)⁴ ≠ -3⁴ แต่ในบางจำนวน เช่น (-2)³ กับ -2³ ถึงแม้ว่ามีความหมายต่างกันแต่มีผลลัพธ์เป็นจำนวนเดียวกัน คือ -8 เพราะว่า
(-2)³ = (-2) x (-2) x (-2) = -8
-2³ = -(2 x 2 x 2) = -8

การดำเนินการของเลขยกกำลัง

สมบัติการคูณของเลขยกกำลัง
เมื่อ a แทนจำนวนใด ๆ m และ n แทนจำนวนเต็มบวก a^m x aⁿ = a^{m + n}

สมบัติการหารของเลขยกกำลัง
เมื่อ a แทนจำนวนใด ๆ a ≠ 0, m และ n แทนจำนวนเต็มบวก a^m ÷ aⁿ = a^{m + n}

การนำไปใช้

ตัวอย่างการนำเลขยกกำลังไปใช้งาน ในที่นี้จะเป็นการยกตัวอย่างการนำไปใช้ในการเขียนรูปสัญกรณ์วิทยาศาสตร์ (Scientific notation) มีรูปทั่วไปเป็น A x 10ⁿ เมื่อ 1 ≤ A < 10 และ n เป็นจำนวนเต็มบวก

การเขียนจำนวนที่มีค่ามาก ๆ ให้อยู่ในรูปสัญกรณ์วิทยาศาสตร์
ตัวอย่าง จงเขียน 6,000,000 ให้อยู่ในรูปสัญกรณ์วิทยาศาสตร์
6,000,000 = 6 x 1,000,000 = 6 x 10⁶

การเขียนจำนวนที่มีค่าน้อย ๆ ให้อยู่ในรูปสัญกรณ์วิทยาศาสตร์
ตัวอย่าง จงเขียน 0.003 ให้อยู่ในรูปสัญกรณ์วิทยาศาสตร์
0.003 = 3 ÷ 1,000 = 3 x 10^-3

ดูบทเรียนอื่น ๆ เพิ่มเติมได้ที่ http://www.doesystem.info/p/mathematics.html