สรุปเนื้อหาคณิตศาสตร์ ม.1 เรื่อง ระบบจำนวนเต็ม(Integer)
สรุปเนื้อหาวิชาคณิตศาสตร์ ระดับชั้น มัธยมศึกษาปีที่ 1 เรื่องระบบจำนวนเต็ม วิชาคณิตศาสตร์พื้นฐาน ภาคเรียนที่ 1
จำนวนเต็ม
จำนวนเต็ม (Integer) ได้แก่ ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...
ข้อสังเกตุ
1. จำนวนเต็มประกอบไปด้วย
1.1 จำนวนเต็มบวก ได้แก่ 1, 2, 3, ...
1.2 ศูนย์ ได้แก่ 0
1.3 จำนวนเต็มลบ ได้แก่ -1, -2, -3, ...
2. จำนวนเต็มบวก ก็คือ จำนวนนับ นั่นเอง
3. 0 เป็นจำนวนเต็ม แต่ 0 ไม่ใช่จำนวนนับ เช่น เราไม่นิยมพูดว่า มีเงินอยู่ 0 บาท แต่เราจะพูดว่าไม่มีเงิน
4. 0 อาจแทนความไม่มี หรือไม่ได้แทนความไม่มีก็ได้ดังนี้
4.1 แทนความไม่มี เช่น ไม่มีปากกา ไม่มีจาน เป็นต้น
4.2 ไม่ได้แทนความไม่มี เช่น ถ้าเราพูดว่าอุณหภูมิของน้ำเป็น 0 องศาเซลเซียส เราไม่ได้หมายความว่าน้ำไม่มีอุณหภูมิ แต่หมายความว่าน้ำมีความเย็นระดับหนึ่ง ซึ่งถูกกำหนดว่าเป็น 0 องศาเซลเซียส
เส้นจำนวน
เส้นจำนวน(Number Line) หมายถึง ชื่อของเส้นตรงที่ถูกลากขึ้นมาเส้นหนึ่งที่มีจุดหนึ่งบนเส้นแทนศูนย์(0) และให้จุดทางซ้ายมือของศูนย์(0) ที่ห่างออกไปเป็นช่องยาวหนึ่งหน่วยเท่ากัน ๆ กัน เป็นตัวแทนของจำนวนเต็มลบ (-1, -2, -3, ...) ส่วนทางขวามือของศูนย์(0) ที่ห่างออกไปเป็นช่องยาวหนึ่งหน่วยเท่ากัน ๆ กัน เป็นตัวแทนของจำนวนเต็มบวก(1, 2, 3, ...) ดังรูป
การเปรียบเทียบเส้นจำนวน
การเปรียบเทียบเส้นจำนวนสองจำนวนที่ไม่เท่ากัน เพื่อจะตัดสินว่า จำนวนใดน้อยกว่าหรือจำนวนใดมากกว่า สามารถพิจารณาโดยใช้เส้นจำนวน ดังนี้
จากเส้นจำนวน พบว่า จำนวนเต็มที่อยู่ทางขวาจะมากกว่าจำนวนเต็มที่อยู่ทางซ้ายเสมอ
เช่น
ลองเปรียบเทียบ 2 กับ 0 ดังนี้
พบว่า 2 มากกว่า 0 ถูกเขียนด้วยสัญลักษณ์ 2 > 0
หรือ 0 น้อยกว่า 2 ถูกเขียนด้วยสัญลักษณ์ 0 < 2
ลองเปรียบเทียบ 0 กับ -3 ดังนี้
พบว่า 0 มากกว่า -3 ถูกเขียนด้วยสัญลักษณ์ 0 > -3
หรือ -3 น้อยกว่า 0 ถูกเขียนด้วยสัญลักษณ์ -3 < 0
การบวกจำนวนเต็ม
ค่าสัมบูรณ์ของจำนวนเต็ม
1. ค่าสัมบูรณ์(Absolute Value) ของจำนวนเต็มใด ๆ หมายถึง ระยะที่จำนวนเต็มนั้นอยู่ห่างจาก 0 บนเส้นจำนวน
2. ถ้ามีจำนวนเต็ม a ใด ๆ เป็นจุดบนเส้นจำนวน แล้วให้เรียกระหว่าง 0 กับจำนวนเต็ม a นั้นว่า ค่าสัมบูรณ์ของจำนวนเต็ม a และค่าสัมบูรณ์ของจำนวนเต็มนั้น ถูกเขียนด้วยสัญลักษณ์ |a|
ข้อสังเกตุ
จะเห็นได้ว่าระยะห่างนั้นจะเป็นไปได้แค่ศูนย์กับบวกเท่านั้น เป็นลบไม่ได้ เช่น
1. ค่าสัมบูรณ์ของ 0 เท่ากับ 0 เนื่องจาก 0 อยู่ห่างจาก 0 เป็นระยะ 0 หน่วย
2. ค่าสัมบูรณ์ของ 3 เท่ากับ 3 เนื่องจาก 3 อยู่ห่างจาก 0 เป็นระยะ 3 หน่วย
3. ค่าสัมบูรณ์ของ -5 เท่ากับ 5 เนื่องจาก -5 อยู่ห่างจาก 0 เป็นระยะ 5 หน่วย
การบวกจำนวนเต็ม
การบวกจำนวนเต็มบวกด้วยจำนวนเต็มบวก
- ให้นำเอาค่าสัมบูรณ์มาบวกกันแล้วตอบเป็นจำนวนเต็มบวก
การบวกจำนวนเต็มลบด้วยจำนวนเต็มลบ
- ให้นำเอาค่าสัมบูรณ์มาบวกกันแล้วตอบเป็นจำนวนเต็มลบ
การบวกระหว่างจำนวนเต็มบวกกับจำนวนเต็มลบที่มีค่าสัมบูรณ์ไม่เท่ากัน
- ให้นำเอาค่าสัมบูรณ์ที่มากกว่าลบด้วยค่าสัมบูรณ์ที่น้อยกว่า แล้วตอบเป็นจำนวนเต็มบวกหรือจำนวนเต็มลบตามจำนวนที่มีค่าสัมบูรณ์มากกว่า
การบวกระหว่างจำนวนเต็มบวกกับจำนวนเต็มลบที่มีค่าสัมบูรณ์เท่ากัน
- ผลบวกที่ได้จะมีค่าเท่ากับ 0 เสมอ
การบวกจำนวนเต็มใด ๆ ด้วยศูนย์หรือการบวกศูนย์ด้วยจำนวนเต็มใด ๆ
- ผลบวกจะเท่ากับจำนวนเต็มนั้นเสมอ
การลบจำนวนเต็ม
จำนวนตรงข้าม
- เมื่อพิจารณาเส้นจำนวน จะพบว่าจำนวนเต็มบวกกับจำนวนเต็มลบ ที่มีค่าสัมบูรณ์เท่ากัน จะอยู่คนละข้างของ 0 และอยู่ห่างจาก 0 เป็นระยะเท่ากัน
- สำหรับ 0 จะมี 0 เป็นจำนวนตรงข้ามของ 0
- ถ้า a เป็นจำนวนเต็มใด ๆ แล้ว จำนวนตรงข้าม ของ a ถูกเขียนด้วยสัญลักษณ์ -a
- ถ้า a เป็นจำนวนเต็มใด ๆ แล้ว จำนวนตรงข้ามของ -a ถูกเขียนด้วยสัญลักษณ์ -(-a) = a
- ถ้า a เป็นจำนวนเต็มใด ๆ แล้ว a + (-a) = (-a) + a = 0
การลบจำนวนเต็ม
- ในการลบจำนวนเต็มนั้น เราจะอาศัยการบวกจำนวนเต็มเข้าช่วย ดังนี้
ตัวตั้ง - ตัวลบ = ตัวตั้ง + จำนวนตรงข้ามของตัวลบ
การคูณจำนวนเต็ม
การคูณจำนวนเต็มบวกด้วยจำนวนเต็มบวก
- ผลลัพธ์เท่ากับผลคูณของค่าสัมบูรณ์ของสองจำนวนนนั้น
การคูณจำนวนเต็มบวกด้วยจำนวนเต็มลบ
- ผลลัพธ์เท่ากับจำนวนตรงข้ามของผลคูณของค่าสัมบูรณ์ของสองจำนวนนั้น
การคูณจำนวนเต็มลบด้วยจำนวนเต็มบวก
- ผลลัพธ์เท่ากับจำนวนตรงข้ามของผลคูณของค่าสัมบูรณ์ของสองจำนวนนั้น
การคูณจำนวนเต็มลบด้วยจำนวนเต็มลบ
- ผลลัพธ์เท่ากับผลคูณของค่าสัมบูรณ์ของสองจำนวนนนั้น
การคูณจำนวนเต็มใด ๆ ด้วยหนึ่งหรือการคูณหนึ่งด้วยจำนวนเต็มใด ๆ
- ผลลัพธ์จะได้เท่ากับจำนวนเต็มนั้นเสมอ
การคูณจำนวนเต็มใด ๆ ด้วยศูนย์หรือารคูณศูนย์ด้วยจำนวนเต็มใด ๆ
- ผลลัพธ์จะได้เท่ากับศูนย์เสมอ
การหารจำนวนเต็ม
การหารจำนวนเต็ม เมื่อตัวตั้งและตัวหารเป็นจำนวนเต็มบวกทั้งคู่หรือจำนวนเต็มลบทั้งคู่
- จะได้คำตอบเท่ากับค่าสัมบูรณ์ของตัวตั้งหารด้วยค่าสัมบูรณ์ของตัวหาร
หารหารจำนวนเต็ม เมื่อตัวตั้งหรือตัวหารตัวใดตัวหนึ่งเป็นลบ โดยที่อีกตัวหนึ่งเป็นบวก
- จะได้คำตอบเท่ากับจำนวนตรงข้ามของค่าสัมบูรณ์ของตัวตั้งหารด้วยค่าสัมบูรณ์ของตัวหาร
จำนวนคู่และจำนวนคี่
จำนวนคู่ หมายถึง จำนวนเต็มที่หารด้วย 2 ลงตัว
จำนวนคี่ หมายถึง จำนวนเต็มที่หารด้วย 2 ไม่ลงตัว
สมบัติของจำนวนเต็ม
สมบัติการสลับที่การบวก
a + b = b + a
สมบัติการสลับที่การคูณ
a x b = b x a
สมบัติการเปลี่ยนกลุ่มการบวก
(a + b) + c = a + (b + c)
สมบัติการเปลี่ยนกลุ่มการคูณ
(a x b) x c = a x (b x c)
สมบัติการแจกแจง
a x (b + c) = (a x b) + (a x c)
